T02 Chaos
Este exercício é relacionado ao programa Chaos.java. Sejam \(A\), $B$ e $C$ os três vértices do triângulo em Chaos.java: $A=(0,0)$, $B=(1,0)$ e $C=(1/2,\sqrt3/2)$. Qualquer ponto $P$ no triângulo $ABC$ pode ser expresso de forma única como $\alpha A+\beta B+\gamma C$, onde $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ são números reais não-negativos com $\alpha+\beta+\gamma=1$. Assim, podemos identificar $P$ com a tripla $(\alpha,\beta,\gamma)$. Os números $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ são as coordenadas baricêntricas de $P$. Não é necessário, mas você pode ler sobre essas coisas aqui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Barycentric_coordinate_system
(Veja a seção "Barycentric coordinates on triangles".)
Considere o programa Chaos.java. Ele começa com o ponto $P_{-1}=A=(0,0)$. Uma vez definidos os pontos $P_{-1},P_0,\dots,P_{t-1}$ ($0\leq t<T$), ele define o ponto $P_t$ como sendo o ponto médio entre $P_{t-1}$ e $A$, $B$ ou $C$, dependendo valor sorteado $r\in\{0,1,2\}$.
Seja $S\subset\mathbb R^2$ o subconjunto de pontos do plano que Chaos.java gera com probabilidade positiva. Mais precisamente, $P\in S$ se e só se existe $T\geq0$ e uma sequência de valores $r_0,r_1,\dots,r_{T-1}\in\{0,1,2\}$ tais que se a variável $r$ em Chaos.java assume, sucessivamente, os valores $r_0,r_1,\dots,r_{T-1}$, então $P=P_{T-1}$, onde $P_{T-1}$ é o $T$-ésimo ponto gerado por por Chaos.java.
Neste exercício, você deve (1) formular uma descrição simples para os elementos $P$ de $S$ e (2) provar que sua descrição está correta.
Sugestão. Considere as coordenadas baricêntricas dos pontos $P$ em $S$ escritas na base $2$.
Observação. Lembre que há uma folha específica obrigatória para entrega de exercícios teóricos em