Tarefa 3
Este é o terceiro exercício para entregar. O prazo para entre é dia 04/11 (quarta-feira) às 23:59h. Para entregar o exercício anexe um PDF com sua resolução (pode ser a digitalização do exercício escrito a mão ou digitado em tex). A legibilidade do arquivo é de sua responsabilidade. Justifique claramente a sua resposta.
Exercício: Seja \(X\) um espaço métrico e \(G\) um grupo finito.
(A) Mostre que uma ação de \(G\) em \(X\) é propriamente descontínua se e somente se a ação é livre.
(B) Encontre uma ação propriamente descontínua de \(\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) em \(S^3\). (DICA: Pense em \(\mathbb{Z}_n\) como o conjunto \(\{z \in \mathbb{C}: z^n = 1\}\)).
(C) Seja \(H\) um grupo abeliano finitamente gerado. Mostre que existe um espaço topológico \(X\) tal que \(\pi_1(X,x) = H\) (DICA: Todo grupo abeliano finitamente gerado é da forma \(H = \mathbb{Z}^l\oplus\mathbb{Z}_{n_1}\oplus\mathbb{Z}_{n_2}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{n_k}\). Pense em \(\pi_1(Y\times Z, (y,z))\)).