Programação
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Curso de introdução a ideias de Cálculo Numérico.
Duas provas e uma sub aberta.
P1. 04/10. Tópicos: 1) MMQ+Eliminação Gaussiana - 8; 2) Método de Newton - 8
P2. 29/11 Tópicos: 3) Interpolação polinomial e spline cúbico - 8; 4) Integração numérica - 8
Sub. 06/12. Pode melhorar a nota de até dois tópicos.
EP (ver revisão). Entregar até 17.11 (vou abrir uma entrega na plataforma)
Nota = 85% média simples das provas e 15% nota do EP
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Recuperação Fórum
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Colli & Asano
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Estão aí as notas.Os alunos que ficaram de Rec receberão instruções em breve. A ideia é fazer a Rec no prazo máximo que foi autorizado aqui no IME. Eu tenho que entregar as notas da 2a avaliação até 14.02, então a ideia é fazer a prova um pouco antes dessa data. O intuito é que os alunos de recuperação realmente estudem e recuperem o que não aprenderam durante o semestre. Estarei disponível por e-mail ou até presencialmente (a partir da segunda quinzena de janeiro) para tirar dúvidas.
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Confiram a 3.
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Atenção especial para a Questão 4.
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Esta lista de exercícios contém todos os exercícios do curso e, em particular, os assuntos que ainda não tinham lista: interpolação polinomial, integração numérica, interpolação de Hermite e spline cúbico.
Esta é a primeira edição porque eu ainda pretendo colocar exercícios cobrados em provas de outros anos que não entraram. Mas já é mais do que suficiente!
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A pedidos, reescrevi as seções 5.1 e 5.2.
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Eliminação gaussiana e uso de arredondamento com aritmética de ponto flutuante.
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Apresentação breve do curso (sem alguns detalhes). Eliminação gaussiana com um exemplo.
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Continuação da eliminação gaussiana. (O aluno que anotou simplesmente continuou sobre o que estava sendo feito na aula anterior -- mais ou menos no meio da página)
Primeiros comentários sobre sistemas lineares sobredeterminados.
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Só dois exercícios, mas estou aproveitando a oportunidade para pedir pra vocês instalarem o Python e começarem a praticar.
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Esse método pode ser entendido via Álgebra Linear, mas também via Cálculo. Se der vamos ver dos dois jeitos. Essencialmente é uma maneira de dar alguma solução (aproximada) para um sistema sobredeterminado (isto é, com mais equações do que incógnitas). A principal aplicação é no ajuste de funções ou equações a dados experimentais.
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O exemplo 'toy model' da tomografia de raio-X. Como tratar um sistema sobredeterminado? Um exemplo de 2 incógnitas e 3 equações, tratado por MMQ.
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MMQ para sistemas lineares: qualquer número de equações e os casos k=1, k=2 e k geral. Já apresentado com pesos.
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Uma revisão sobre produto interno, métrica e ortogonalidade.
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Usando o produto interno, a resolução de MMQ usando Álgebra Linear.
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Aplicação de MMQ ao ajuste de funções.
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Nesta aula vimos como tratar, por MMQ, uma equação entre variáveis quaisquer (em qualquer quantidade), desde que a dependência nos parâmetros seja linear.
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Uso de MMQ (linear) para resolver problemas não lineares nos parâmetros.
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Aula única, para ajudar no EP.
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O que é uma equação diferencial, com foco em dimensão 2 (ou sistemas de 2 equações), como transformar uma equação de segunda ordem em dimensão 2 de primeira ordem, e o método de Euler.
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Método de Newton, em uma ou mais variáveis. E outros assuntos que couberem.
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Introdução ao problema de zeros de funções. Equações. O método da bissecção. O método de Newton.
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Método de Newton em dimensão n, com um exemplo (fictício) em dimensão 2. O mesmo exemplo, reduzido a dimensão 1 após substituição de uma equação na outra.
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Alguns exercícios de Método de Newton. Os exercícios gráficos é para resolver lembrando qual é a motivação geométrica da fórmula de iteração do método, baseada nas tangentes.
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Entendendo como se pode prever (ou não) o destino final de convergência dos iterados do Método de Newton em função da condição inicial escolhida.
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Interpolação: introdução. Interpolação polinomial: enunciado do teorema básico. Notações.
OBS: No finalzinho da aula, eu ia verificar se q(x) interpolava f, e só verifiquei q(0). Faltou verificar q(2), mas também dá certo nesse caso.
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Interpolação polinomial: resolução direta por sistemas lineares. Resolução pelo Método de Lagrange.
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Interpolação polinomial: uso do Método de Lagrange como argumento para demonstrar a existência; prova da unicidade do interpolador de grau n para n+1 pontos. Forma fatorada dos polinômios de grau n com n raízes. Diferença entre interpoladores ao retirar um ponto.
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A forma de Newton da interpolação polinomial e as diferenças divididas.
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Relação de derivadas de ordem alta com diferenças divididas: Teorema do Valor Médio generalizado. Uso desse teorema para obtenção de uma fórmula de erro para a interpolação polinomial.
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Discussão sobre a fórmula de erro da interpolação polinomial e como usá-la. A questão da majoração de uma função por uma constante.
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Esse texto eu fiz para complementar e explicar melhor do que meu livro esses dois tópicos. Vou colocar o texto também no tópico de integração numérica.
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Métodos de Trapézios e de Simpson, que usam de maneira específica a interpolação polinomial para a aproximação de integrais.
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Esse texto eu fiz para complementar e explicar melhor do que meu livro esses dois tópicos. Coloquei o texto também no tópico de interpolação polinomial.
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Usando a fórmula de erro da interpolação polinomial para estimar quanto se erra na aproximação de uma integral num intervalo em dois casos: (i) interpolando com grau 1 os pontos extremos do intervalo; (ii) interpolando com grau 2 os pontos extremos e o ponto médio.
A ideia de (i) levará ao Método de Trapézios e a ideia de (ii) levará ao Método de Simpson.
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O Método dos Trapézios de aproximação de integrais definidas de funções reais.
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Apresentação do Método de Simpson.
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Um exercício completo de Método de Simpson, inclusive discussão sobre erros de arredondamento e a escolha do número de casas decimais depois da vírgula nos arredondamentos de f.
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Alguns comentários sobre derivação numérica, esclarecendo um ou dois exercícios da lista. Obtenção de um polinômio cúbico que reproduz os valores e as derivadas de uma função em dois pontos distintos, passando a forma de Newton ao limite.
(Baseado nisso, eu ia explicar, nos últimos 10 minutos, o que é a interpolação de Hermite, mas a aula foi interrompida pelo treinamento de incêndio)
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Outra anotação da aula. Como a primeira ficou fora de ordem, estou postando esta também, como complemento.
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Interpolação de Hermite (completando o raciocínio da aula anterior) e splines cúbicos (grampeado, natural e periódico).
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