MAT0462 - Tópicos de Matemática III (2026)

A disciplina tem como objetivo abordar vários tópicos da teoria de grupos tentando não usar muitos pré-requisitos. Segue uma lista possível de alguns assuntos que podem ser cobertos durante. A ordem dos assuntos é flexível. 

Lista de assuntos possíveis:

1) O teorema de casamento de Hall e uma aplicação em teoria de grupos 

2) O grupo livre: existência, unicidade e algumas propriedades 

3) Apresentação de grupos e o problema da palavra

4) Grupo de automorfismos de um grupo, produto semidireto de grupos, produto livre de grupos 

5) Grupos livres, ações e grafos

6) Caracterização de um subgrupo de um grupo livre: o teorema de Nielsen-Schreier

7) O lema do pingue-pongue

8) O grupo SL_2(Z} é virtualmente livre

9) Grupos nilpotentes finitos 

10) Grupos solúveis e  supersolúveis finitos

11) O subgrupo de Frattini

12) Subgrupos de Hall

13) Grupos finitos primitivos, grupos finitos simples e o Criterio de Iwasawa

14) Grupos lineares e simplicidade de PSL_n(q)

Avaliação: 

1) Exercícios 

2) Trabalho sobre um tema proposto com relatório e apresentação. (Os relatórios poderão eventualmente ser revisados por colegas da turma.) 

Referências:

John  Dixon. Problems in group theory. Blaisdell Publishing Co. Waltham, Massachussets - Toronto - London, 1967, xv+176 pp.

John Dixon and Brian Mortimer. Permutation groups. Graduate Texts in Mathematics 163, Springer-Verlag, New York, 1996. xii+346 pp.

Pierre de la Harpe.  Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000, vi+310 pp.

Martin Isaacs. Finite group theory. Graduate Studies in Mathematics 92, American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+350 pp.

Clara Loh. Geometric group theory. An introduction. Universitext, Springer, Cham, 2017. xi+389 pp.

Derek Robinson. A course in the theory of groups. Graduate Texts in Mathematics 80, Springer-Verlag, New York, 1996. xviii+499 pp.

Joseph Rotman. An introduction to the theory of groups. Fourth edition. Graduate Texts in Mathematics 148, Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+513 pp.

Donald Taylor. The geometry of the classical groups. Sigma Series in Pure Mathematics 9, Heldermann Verlag, Berlin, 1992, xii+229 pp.