Programação
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Última atualização: 2022-12-09
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Notas de aula: p. 214-224, 234-242.Referências adicionais: [Blundell] cap. 16.
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Notas de aula: p. 212-218, 230-233.Referências adicionais: [Blundell] cap. 16.
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2023/11/29, Aulas 42 e 43, Termodinâmica - Estrutura formal da Termodinâmica: equações de estado, relações de Maxwell, Euler e Gibbs-Duhem
Notas de aula: p. 206-212.
Referências adicionais: [Blundell] cap. 16. -
2023/11/27, Aulas 40 e 41, Termodinâmica - Segunda Lei da Termodinâmica: princípio da máxima entropia e Estrutura formal da Termodinâmica: relações fundamentais
Notas de aula: p. 184-202
Referências adicionais: [Blundell] caps. 14 e 16; [Nussenzveig] cap. 10. -
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Notas de aula: p. 175-179, 184-187
Referências adicionais: [Blundell] cap. 14; [Nussenzveig] cap. 10.Como a entropia S é uma variável de estado, sua variação em um processo termodinâmico arbitrário pode ser calculada integrando os incrementos entrópicos \( dS = \dfrac{\delta Q^{\mathrm{rev}}}{T} \) por qualquer transformação reversível entre estados inicial e final do sistema de interesse/primário claramente definidos, mesmo que o processo de interesse não seja reversível. Isso foi ilustrado mediante um estudo minucioso da expansão livre (processo de Joule). Foi destacado que, para trocas térmicas arbitrárias (não necessariamente reversíveis) ao longo de um caminho termodinâmico \(\ce{ \alpha }\) do ponto inicial i ao ponto final f, \( \Delta S \equiv S_f-S_i \ge \int _{\alpha} \dfrac{\delta Q}{T} \) e, equivalentemente, \(\ce{ \delta Q \le \delta Q_{\mathrm{rev}} }\). -
2023/11/08, Aula 35, Termodinâmica - Segunda Lei da Termodinâmica: desigualdade de Clausius e entropia
Notas de aula: p. 163-175
Referências adicionais: [Blundell] caps. 13 e 14; [Nussenzveig] cap. 10.Os fatos discutidos na aula anterior, adicionados à propriedade de qualquer trecho de uma transformação ser termodinamicamente equivalente a uma sucessão de adiabatas e isotermas, levam à desigualdade de Clausius, \( \oint \dfrac{\delta Q}{T} \le 0 \). Como a igualdade só vale para processos reversíveis, nesse caso \( \oint \dfrac{\delta Q^{\mathrm{rev}}}{T} =0 \) e a independência de caminho de integração exige o reconhecimento da diferencial exata \( dS = \dfrac{\delta Q^{\mathrm{rev}}}{T} \), de modo que a entropia S é uma variável de estado. Desde que os estados inicial e final do sistema de interesse/primário estejam claramente definidos, é possível calcular a variação de entropia em um processo termodinâmico arbitrário integrando os incrementos entrópicos por qualquer transformação reversível que envolva aqueles mesmos extremos. -
2023/11/06, Aulas 33 e 34, Termodinâmica - Segunda Lei da Termodinâmica: otimalidade dos processos reversíveis
Notas de aula: p. 156-162
Referências adicionais: [Blundell] cap. 13; [Nussenzveig] cap. 10; [Lemons1] cap. 5.Nesta aula, foi demonstrado que, dado qualquer ciclo termodinâmico de um motor operado quasi-estaticamente, o rendimento é máximo quando todas as etapas do ciclo são realizadas reversivelmente. Todos os ciclos de Carnot são equivalentes, independentemente de qual "substância de trabalho" seja utilizada, de modo que o rendimento \( \eta_{\mathrm{Carnot}} = 1-\dfrac{T_2}{T_1} \), obtido para um gás ideal, vale, na verdade, para qualquer sistema físico que execute um ciclo de Carnot. Além disso, entre todos os diferentes ciclos reversíveis operando entre dadas duas temperaturas, o rendimento é ótimo para o ciclo de Carnot operando entre aquelas temperaturas extremas. -
2023/11/01, Aula 32, Termodinâmica - Segunda Lei da Termodinâmica: ciclo de Carnot e suas propriedades
Notas de aula: p. 148-149
Referências adicionais: [Blundell] cap. 13; [Nussenzveig] cap. 10; [Lemons1] cap. 5.Nesta aula apenas foi finalizado o cálculo do rendimento de um motor de Carnot. Recomendou-se à turma a leitura das páginas 150-155 das notas de aula sobre o relevante papel conceitual dos ciclos de Carnot para a consolidação do conceito de temperatura absoluta, mas isso não foi nem será discutido em sala de aula. -
2023/10/30, Aulas 30 e 31, Termodinâmica - Segunda Lei da Termodinâmica: enunciados clássicos e ciclo de Carnot
Notas de aula: p. 137-148
Referências adicionais: [Blundell] cap. 13; [Nussenzveig] cap. 10; [Lemons1] cap. 5.Nesta aula foram apresentados os "enunciados clássicos" da segunda lei da termodinâmica, que expressam axiomaticamente o conhecimento adquirido empiricamente acerca da espontaneidade (ou "direcionalidade") de certos fenômenos térmicos.Segundo Kelvin, "É impossível a realização de um processo cujo único efeito seja a conversão integral em trabalho do calor extraído de um reservatório térmico." ou "Não existe um motor perfeito.". Segundo Clausius, "É impossível a realização de um processo cujo único efeito seja transferir calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente." ou "Não existe um refrigerador perfeito.". Demonstrou-se a equivalência lógica desses dois enunciados.Por fim, foi demonstrado que o único ciclo reversível que pode ser descrito por um sistema que, quando realiza trocas térmicas, interage com sistemas auxiliares que correspondem a apenas duas temperaturas precisa ser composto por dois trechos adiabáticos e dois trechos isotérmicos, intercalados. Tal processo é denominado ciclo de Carnot e é de importância fundamental, histórica e conceitualmente, na construção do conceito de entropia e para toda a termodinâmica. -
2023/10/25, Aulas 28 e 29, Termodinâmica - Primeira Lei da Termodinâmica (finalização) e Segunda Lei da Termodinâmica
Notas de aula: p. 125-136
Referências adicionais: [Blundell], cap. 13, [Nussenzveig], caps. 9 e 10motores e refrigeradores reais: [Schroeder], seções 4.3 e 4.4Após o esclarecimento de alguns "problemas pendentes" da aula anterior, iniciou-se a discussão de um amplo contexto onde será apresentada a segunda lei da termodinâmica. Nesse cenário, é crucial ser preciso na descrição de como pode ocorrer a interação do sistema/dispositivo/máquina termodinâmico de interesse com o resto do universo.Foi introduzido o conceito de fonte de calor reversível, que é um sistema auxiliar idealizado que pode acoplar-se ao sistema de interesse para viabilizar a ocorrência de um processo reversível (dependendo de como ocorrem o acoplamento e a interação) onde ocorrem exclusivamente interações térmicas. Analogamente, também foi introduzido o conceito de fonte de trabalho reversível, que é um sistema auxiliar idealizado que pode acoplar-se ao sistema de interesse para viabilizar a ocorrência de um processo reversível (dependendo de como ocorrem o acoplamento e a interação) onde ocorrem exclusivamente interações mecânicas.Por fim, também foram introduzidos os conceitos das mais básicas máquinas térmicas, motores e refrigeradores. Um motor térmico é um sistema que opera em contato com 3 sistemas auxiliares: duas fontes de calor (extrai calor da fonte quente, \( T_1 \), e descarta calor na fonte fria, \( T_2 \), com \( T_1>T_2 \)) e uma fonte de trabalho (sobre a qual o motor exercerá trabalho). Embora um dispositivo prático de um refrigerador exija implementações tecnológicas completamente diferentes de um motor, esquemática e abstratamente um refrigerador pode ser visto como um motor operando em reverso: recebe trabalho externo de uma fonte de trabalho para extrair calor de uma fonte fria e descartá-lo em uma fonte quente.Devido à existência de diversos sistemas auxiliares acoplados às máquinas térmicas, cada uma delas costuma ser descrita com convenções próprias, distintas daquelas de uma aplicação simples da 1a. lei da termodinâmica. Porém, costuma-se sempre exigir que \( W=Q_1-Q_2 \). Os rendimentos de motores e refrigeradores são definidos de formas distintas entre si, \( \eta_{\mathrm{MOTOR}} = W/Q_1 \) e \( \eta_{\mathrm{REF}} = Q_2/W \). -
Notas de aula: p. 111-120, 122-125
Referências adicionais: [Blundell], cap. 11 e 12; [Nussenzveig], caps. 8 e 9
Por que separa-se a variação da energia interna em duas componentes, uma de calor e outra de trabalho? O calor corresponde a energia depositada nos "incontáveis" graus de liberdade microscópicos, "desordenados", inacessíveis e incontroláveis por um "experimentador macroscópico". Todos os trabalhos, por seu lado, correspondem a energia depositada nos pouquíssimos graus de liberdade macroscópicos efetivos, manipuláveis macroscopicamente. Nesta aula também são apresentadas diversas propriedades elementares de gases ideais, como suas capacidades térmicas a volume constante e a pressão constante. O coeficiente adiabático é definido e calculado em um caso simples e são apresentadas expressões para o trabalho reversível nos casos isotérmico e adiabático.
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Notas de aula: p.104-111
Referências adicionais: [Blundell], cap. 11; [Nussenzveig], cap. 8; [Callen], cap. 1
A primeira lei da termodinâmica consiste simplesmente em um princípio de conservação da energia, dado que se reconheça o calor como uma forma de energia. Calor e trabalho em processos termodinâmicos dependem do caminho entre dados estados inicial e final e da forma como esse caminho é percorrido. A primeira lei pode ser expressa na forma global, "integrada", \( \Delta U = Q+W \), ou na forma local (diferencial, infinitesimal) \( dU = \delta Q + \delta W \), que explicita o caráter dependente de caminho do calor e do trabalho ao expressar seus incrementos como diferenciais inexatas, em contraste com as diferenciais exatas das funções de estado. O trabalho mecânico reversível infinitesimal é \( \delta W = - P \, dV \). O trabalho químico reversível infinitesimal é \( \delta W = - \mu \, dN \) e descreve o incremento da energia do sistema pela variação da quantidade de partículas. -
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Notas de aula: p.94-104
Referências adicionais: [Blundell], cap. 11; [Nussenzveig], cap. 8; [Callen], cap. 1
Cada estado de equilíbrio termodinâmico é caracterizado por um conjunto de poucas variáveis de estado (ou funções de estado), nem todas independentes entre si, e corresponde a um ponto em um espaço matemático dos valores de um conjunto de variáveis de estado independentes. Nesse espaço de estados termodinâmicos, muitas vezes pode ser traçado um caminho, que corresponde a um processo termodinâmico entre dados estados inicial e final. Na verdade, há processos termodinâmicos em que nem sequer há um caminho, constituído por um contínuo de estados de equilíbrio. Mas tal caminho sempre existirá se o processo for quase-estático, com deslocamentos infinitesimais e suficientemente lentos para permitir a relaxação do sistema. Se, além de quase-estático, um processo também for realizado em quase-equilíbrio (das forças termodinâmicas generalizadas do sistema de interesse e do sistema auxiliar com que o sistema primário interage em cada momento), tratar-se-á de um processo reversível. -
2023/10/04, Aula 19, Termodinâmica - Elementos da teoria cinética dos gases: teoria cinética da pressão
Notas de aula: p.84-93
Referências adicionais: [Blundell], cap. 6
Nesta aula, foi reforçado o desenvolvimento matemático da teoria cinética da pressão, e, para ilustrar melhor os conceitos envolvidos, discutiu-se como seriam obtidas as distribuições de velocidades de Maxwell-Boltzmann para gases em outras dimensões (1D e 2D). -
2023/10/02, Aulas 17 e 18, Termodinâmica - Elementos da teoria cinética dos gases: teoria cinética da pressão
Notas de aula: p.84-93
Referências adicionais: [Blundell], cap. 6
Nesta aula, completou-se o desenvolvimento matemático da teoria cinética da pressão. O estudo das trocas de momento linear das moléculas de um gás com as paredes do recipiente que o contém leva a uma relação entre a pressão e a velocidade quadrática média, obtida mediante considerações geométricas no espaço tridimensional (de velocidades!) que envolvem as noções de ângulo sólido, fluxo e probabilidade geométrica uniforme. -
2023/09/27, Aula 16, Termodinâmica - Elementos da teoria cinética dos gases: teoria cinética da pressão
Notas de aula: p.84-93
Referências adicionais: [Blundell], cap. 6
Nesta aula, iniciou-se a discussão da teoria cinética da pressão. A velocidade quadrática média das partículas de um gás termalizado, já conhecida mediante a distribuição de Maxwell-Boltzmann, revela-se determinante para a determinação de grandezas macroscópicas como a pressão e a temperatura. Mais do que isso, a lei dos gases ideais PV=nRT=n k_B T é uma das conclusões diretas dessa teoria. As leis de Dalton (das pressões parciais), de Avogadro e de Graham também surgem como "corolários".
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2023/09/25, Aulas 14 e 15, Termodinâmica - Elementos da teoria cinética dos gases: distribuição de velocidades de Maxwell e teoria cinética da pressão
Notas de aula: p.67-84
Referências adicionais: [Blundell], caps. 5 e 6
Com base no fator de Boltzmann, determina-se a distribuição unidimensional para uma componente cartesiana da velocidade de um gás termalizado. Com base em uma hipótese de independência estatística, a distribuição tridimensional de um vetor velocidade é determinada tanto em coordenadas cartesianas quanto em coordenadas esféricas (no espaço de velocidade). A partir desta última, determina-se a distribuição de velocidades de Maxwell, que é a distribuição marginal para o módulo da velocidade de uma partícula de um gás termalizado.
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2023/09/20, Aula 13, Termodinâmica - Elementos da teoria cinética dos gases: probabilidade e distribuição de velocidades de Maxwell
Notas de aula: p.63-68
Referências adicionais: [Blundell], seções 3.6 e 3.7, cap. 5
A variância de uma soma de duas variáveis aleatórias não é, em geral, dada pela soma das variâncias das parcelas da soma (há um desvio dependente de uma covariância não nula). Porém, a variância de uma soma de duas variáveis aleatórias independentes é dada pela soma das variâncias das parcelas, um resultado com amplas consequências práticas e que simplifica enormemente a análise do importante modelo da caminhada aleatória ou passeio do bêbado (random walk).
Com base no fator de Boltzmann, determina-se a distribuição unidimensional para uma componente cartesiana da velocidade de um gás termalizado. Com base em uma hipótese de independência estatística, a distribuição tridimensional de um vetor velocidade é determinada tanto em coordenadas cartesianas quanto em coordenadas esféricas (no espaço de velocidade). A partir desta última, determina-se a distribuição de velocidades de Maxwell, que é a distribuição marginal para o módulo da velocidade de uma partícula de um gás termalizado.
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Notas de aula: p.50-63
Referências adicionais: [Blundell], seções 3.3 a 3.6
Esta aula abordou diversos aspectos elementares dos casos onde há várias v.a.'s estudadas simultaneamente. Foram introduzidos os conceitos de distribuição (e densidade) conjunta, distribuição marginal, independência estatística e covariância. -
Notas de aula: p.51-65
Referências adicionais: [Blundell], seção 3.6
Esta aula abordou diversos aspectos elementares dos casos onde há várias v.a.'s estudadas simultaneamente. Foram introduzidos os conceitos de distribuição (e densidade) conjunta, distribuição marginal, independência estatística e covariância. -
Notas de aula: p.44-51
Referências adicionais: [Blundell], cap. 3
É possível gerar novas v.a.'s a partir de uma dada v.a.. Operacionalmente, basta descrever (A) o novo espaço de realizações e (B) a nova distribuição de probabilidade.O passo A é bem simples. Define-se o espaço de realizações da nova v.a. Y expressa em termos de uma dada v.a. X por uma relação funcional Y=f(X) como sendo o conjunto de todas as imagens y_i dadas por y_i = f(x_i) para todas as possíveis realizações x_i de X. Mas pode ser bem complicado realizar o passo B e tal procedimento não é o foco deste curso.Alternativamente, (1) algumas poucas medidas escalares descritivas de Y (em contraste com a informação completa da distribuição de probabilidade) podem ser obtidas a partir daquelas de X, para qualquer relação funcional f, ou (2) certas relações simples f, como translação e escala, podem permitir a construção da distribuição de probabilidade completa de Y.Médias de novas v.a.'s do tipo Y=f(X) podem ser obtidas com a densidade de probabilidade "velha", de X. Destacam-se escalas e translações de X e a variância. -
Notas de aula: p.38-44
Referências adicionais: [Blundell], cap. 3
Uma v.a. é contínua se seu espaço de realizações S for infinito não enumerável ("seus elementos não podem ser ordenados/contados"). Isso exige a utilização de uma densidade de probabilidade e apenas intervalos de valores das realizações têm probabilidades não nulas: qualquer realização isolada de uma v.a. contínua tem probabilidade nula! Casos clássicos são as v. a.'s uniforme, exponencial e Gaussiana (normal).Formalmente, com o uso da delta de Dirac, uma v.a. discreta pode ser descrita como contínua, mediante uma densidade de probabilidade.É possível gerar novas v.a.'s a partir de uma dada v.a.. Operacionalmente, basta descrever o novo espaço de realizações (o que é relativamente simples) e a nova distribuição de probabilidade (o que pode ser bem complicado e não é o foco deste curso). -
2023/08/28, Aulas 05 e 06, Termodinâmica - Base empírica: calorimetria e Elementos da teoria cinética dos gases: probabilidade
Notas de aula: p.26-37
Referências adicionais:
Referências adicionais: [Nussenzveig], seções 8.1, 8.2 e 8.4 e [Blundell], cap. 3
Calor é uma forma de energia em trânsito, como ficou claro após os experimentos de Joule determinando o equivalente mecânico da caloria. Conceitos básicos de calorimetria como calor específico e capacidade térmica foram relembrados.
Após a revelação que sucessivas medidas (constituindo uma amostra finita) de alguma grandeza física de um sistema (sempre preparado da mesma forma) constituem uma tentativa (ainda que não declarada assim tão consciente e explicitamente) de caracterizar uma "máquina experimental geradora de números aleatórios", mediante construções como média amostral, variância amostral, frequências relativas e histograma empírico, motiva-se o conceito de variável aleatória (v.a.) como uma "máquina teórica/idealizada geradora de números aleatórios". Conhecer um bom repertório de v.a.'s comuns e suas propriedades é indispensável na tentativa de compreensão de um sistema natural com variabilidade.
Uma v.a. é caracterizada por um espaço de realizações S (conjunto de todos os números que podem eventualmente ser gerados/realizados, um de cada vez, por essa "máquina") e por uma distribuição de probabilidade em S ("família de pesos probabilísticos" para cada elemento - ou subconjunto - de S).
Uma v.a. é discreta se S for finito ou infinito enumerável ("seus elementos podem ser ordenados/contados"). Casos clássicos são as v. a.'s dos tipos Bernoulli e binomial.
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Notas de aula: p.18-25
Referências adicionais: [Nussenzveig], seções 7.3, 7.4
O próprio conceito de temperatura como uma grandeza numérica associada a um estado de equilíbrio térmico de um corpo (uma variável de estado, na terminologia que será adotada em um futuro próximo, neste curso) é elusivo. Afinal, parece não haver medidas diretas de tal grandeza, apenas associações com observáveis dos diferentes termômetros, com diferentes substâncias termométricas. Porém, experimentos cuidadosos com termômetros a gás de volume constante (manômetros de tubo aberto adaptados para servirem como termômetros) usando vários tipos de gases como substâncias termométricas, e em diferentes graus de rarefação, sugerem fortemente que existem relações entre "leituras termométricas" de amostras de referência que são universais, válidas para qualquer termômetro. Isso permite a definição de uma temperatura absoluta, no sentido que parece haver uma "condição limítrofe", de "menor resposta termométrica possível", à qual é atribuída o zero absoluto de temperatura.
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Notas de aula: p.16-21
Referências adicionais: [Nussenzveig], seções 7.1, 7.2 e 7.5
A lei zero da Termodinâmica ("dois corpos em equilíbrio térmico com um terceiro corpo também estão em equilíbrio entre si") expressa não apenas a observação empírica da existência de estados de equilíbrio, mas também já sugere a existência de termômetros, sistemas com alguma característica "facilmente observável", inicialmente dinâmica, mas que se estabilizaria após um contato térmico suficientemente longo. Essa característica é associada a uma grandeza abstrata "temperatura" e manifesta-se concretamente como o volume (variável) de uma "substância termométrica" (um fluido, gás ou líquido - a variação relativa do volume de sólidos é bem menos aparente). Motiva-se, assim, o estudo da dilatação térmica.
O próprio conceito de temperatura como uma grandeza numérica associada a um estado de equilíbrio térmico de um corpo (uma variável de estado, na terminologia que será adotada em um futuro próximo, neste curso) é elusivo. Afinal, parece não haver medidas diretas de tal grandeza, apenas associações com observáveis dos diferentes termômetros, com diferentes substâncias termométricas. Porém, experimentos cuidadosos com termômetros a gás de volume constante (manômetros de tubo aberto adaptados para servirem como termômetros) usando vários tipos de gases como substâncias termométricas, e em diferentes graus de rarefação, sugerem fortemente que existem relações entre "leituras termométricas" de amostras de referência que são universais, válidas para qualquer termômetro. Isso permite a definição de uma temperatura absoluta, no sentido que parece haver uma "condição limítrofe", de "menor resposta termométrica possível", à qual é atribuída o zero absoluto de temperatura.
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Notas de aula: p.01-16
Referências adicionais: a introdução de qualquer bom texto de termodinâmica estatística e [Nussenzveig], seções 7.1, 7.2 e 7.5
Nesta aula, ocorreu a apresentação do curso. Os procedimentos de avaliação foram exibidos e discutidos com a turma.
Em termos gerais, discutiu-se como a termodinâmica estatística ou física térmica (a "zona cinzenta" onde amarram-se os conceitos da termodinâmica clássica e aqueles princípios básicos da física estatística, de sistemas microscópicos) descreve quais propriedades de sistemas macroscópicos dependem simplesmente do fato desses sistemas serem constituídos por MUITAS unidades elementares, independentemente da natureza física das eventuais interações entre tais unidades em nível microscópico.
Rapidamente, revisaram-se as noções primitivas de sistema (aberto, fechado, isolado), contato térmico, ambiente...
A lei zero da Termodinâmica ("dois corpos em equilíbrio térmico com um terceiro corpo também estão em equilíbrio entre si") expressa não apenas a observação empírica da existência de estados de equilíbrio, mas também já sugere a existência de termômetros, sistemas com alguma característica "facilmente observável", inicialmente dinâmica, mas que se estabilizaria após um contato térmico suficientemente longo. Essa característica é associada a uma grandeza abstrata "temperatura" e manifesta-se concretamente como o volume (variável) de uma "substância termométrica" (um fluido, gás ou líquido - a variação relativa do volume de sólidos é bem menos aparente). Motiva-se, assim, o estudo da dilatação térmica.