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5. Equações de Maxwell

Localmente (ou não), as equações de Maxwell podem ser divididas em dois grupos. O grupo ligado a cargas (divergente),\(\)

\begin{equation} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=4\pi C_{e}\,\rho,\quad \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0, \end{equation}

e o grupo ligado à indução (rotacional),

\begin{equation} \vec{\nabla}\times\vec{B}= +\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} + 4\pi C_{m}\vec{J},\quad \vec{\nabla}\times\vec{E}= -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}. \end{equation}

As constantes elétrica e magnética são

\begin{equation} C_{e}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}},\quad C_{m}=\frac{\mu_{0}}{4\pi},\quad \frac{C_{e}}{C_{m}}=\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}=c^{2}, \end{equation}

onde os valores da permissividade $\epsilon_{0}$ e da permeabilidade $\mu_{0}$ do vácuo são dados na Introdução e a relação com a velocidade da luz $c$ é deduzida na próxima subseção.

Esse grupo ligado à indução pode ser reescrito numa forma mais simétrica (verifique),

\begin{equation} \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}- \vec{\nabla}\times(c\vec{B})=-4\pi C_{m}(\vec{J}/c),\quad \frac{1}{c}\frac{\partial(c\vec{B})}{\partial t}+ \vec{\nabla}\times\vec{E}=0. \end{equation}

Assim, os campos elétrico $\vec{E}$ e magnético (rebatizado)  $c\vec{B}$ têm as mesmas dimensões (verifique).

É muito interessante utilizar aqui o potencial escalar $\phi$, introduzido na Seção 2.2, e o potencial vetorial $\vec{A}$, introduzido na Seção 3.4. No entanto, como os campos considerados aqui são dependentes do tempo, temos de verificar se alguma correção precisa ser feita nas relações já estabelecidas envolvendo estes potenciais. Para o campo magnético satisfazendo a segunda equação de Maxwell, $\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0$, continuamos com $\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$. Para o campo elétrico, devido às equações de Maxwell ligadas à indução, precisamos corrigir a relação $\vec{E}=-\vec{\nabla}\phi$, válida somente para campos estáticos. Para tal, vamos usar a quarta equação de Maxwell (lei de Faraday),

\begin{equation} \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}+ \vec{\nabla}\times\vec{E}=\vec{\nabla}\times \left(\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}+ \vec{E}\right)=0\;\implies\; \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}+\vec{E}= -\vec{\nabla}\phi, \end{equation}

a qual nos obriga a acrescentar a variação temporal da densidade de corrente. Desta forma, em termos dos potenciais, os campos são

\begin{equation} \vec{E}=-\vec{\nabla}\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial(c\vec{A})}{\partial t},\quad \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}. \end{equation}

Exercício. Elabore cuidadosamente as provas omitidas sob a etiqueta "verifique".

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