Exercício 2 - Estado de tensão (3D)
O estado de tensão (3D) em um ponto X na ombreira de uma barragem de terra é dado pelo seguinte tensor:
\(\underline{T}=\begin{bmatrix}45&-20&-30\\-20&70&-25\\-30&-25&120\end{bmatrix}\)
O sistema de coordenadas adotado tem coordenadas \(x_1\) horizontais e crescentes para a direita e coordenadas \(x_3\) verticais e crescentes para cima (o eixo \(x_2\) é também horizontal).
Está sendo analisada a estabilidade da ombreira, e a superfície de escorregamento fica definida, no ponto em questão, pelo versor normal: \(\underline{n}=\begin{bmatrix}1/\sqrt{3}&-1/\sqrt{3}&1/\sqrt{3}\end{bmatrix}^T\)
Utilizando a propriedade do tensor das tensões que garante que: \(\underline{T}\bullet \underline{n}=\underline{t}^{(n)}\), determine:
1) o vetor tensão na base da lamela;
2) os módulos da tensão normal e da tensão de cisalhamento na base da lamela.
Para verificar a eventual plastificação do ponto é preferível trabalhar com invariantes.
3) Determine a tensão normal octaédrica (porporcional ao invariante J1, o primeiro invariante do tensor das tensões).
4) Determine a tensão tangencial octaédrica (proporcional ao invariante J'2, o segundo invariante do tensor tangencial, ou tensor desviador).
5) Determine as três tensões principais.
5a) Obtidos os três valores, represente o estado de tensão por um ponto (vamos chamá-lo de P) no espaço das tensões principais (cuja origem é o ponto O).
5b) Esboce um plano que passa pelo ponto P e é normal à diagonal do espaço (reta na qual as três tensões principais são iguais). Chame de P' a interseção desse plano com a diagonal do espaço.
5c) Procure convencer-se de que OP é proporcional à tensão normal octaédrica e de que PP' é proporcional à tensão de cisalhamento octaédrica. Compare a posição do ponto P no espaço de tensões principais com a representação de superfícies de plastificação
nesse mesmo espaço (veja o link para as figuras respectivas no Moodle). Procure convencer-se de que é possível calcular as tensões octaédricas em cada ponto do problema analisado e conferir se ocorreu ou não plastificação ou ruptura por análise
da posição relativa do ponto P e da superfície de plastificação do material.