7600101 - Física Geral I (2024)

FÍSICA GERAL I - PROVA (03/04/24)

Considere os vetores \( \vec{A} = \hat{i}+\hat{j}\) e \( \vec{B} =\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\), descritos numa base ortonormal formada pelos versores \((\hat{i},\hat{j},\hat{k})\), nesta ordem. 

1. Calcule as componentes do vetor \( \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}. \)

Resolução:

Para calcular o produto vetorial \( \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} \), você pode usar a seguinte teorema:

\( \vec{C} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{matrix} \right| \)

Onde \( A_x, A_y, A_z \) são as componentes de \( \vec{A} \) e \( B_x, B_y, B_z \) são as componentes de \( \vec{B} \).

Dado que \( \vec{A} = \hat{i}+\hat{j} \) e \( \vec{B} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \), podemos escrever as componentes dos vetores \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \) como:

\( \vec{A} = (1, 1, 0) \)

\( \vec{B} = (1, -1, 1) \)

Agora, podemos calcular o produto vetorial:

\( \vec{C} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1\end{matrix} \right|\)

\( \vec{C} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \)

Portanto, as componentes do vetor \( \vec{C} \) são \( (1, -1, -2) \).

2. Calcule os módulos dos vetores \( \vec{A}, \vec{B}\)  e \( \vec{C} . \)

Resolução:

Para calcular o módulo de um vetor, podemos usar a definição do módulo de um vetor tridimensional, onde \(V_x, V_y, V_z\) são as componentes do vetor \(\vec{V}\):

\( |\vec{V}| = \sqrt{\vec{V}\cdot\vec{V}}  = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2} \)

Para os vetores \(\vec{A}\) e \(\vec{B}\) dados, temos:

\( \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} = (1, 1, 0) \)

\( \vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} = (1, -1, 1) \)

Agora, calculamos os módulos:

1. Para o vetor \( \vec{A} \):

\( |\vec{A}| =\sqrt{\vec{A}\cdot\vec{A}} = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{2} \)

2. Para o vetor \( \vec{B} \):

\( |\vec{B}| =\sqrt{\vec{B}\cdot\vec{B}} = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{3} \)

Para o vetor \(\vec{C}\), que foi calculado no exercício anterior como \( \vec{C} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \), podemos calcular seu módulo da seguinte maneira:

\( |\vec{C}| =\sqrt{\vec{C}\cdot\vec{C}} = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \)

Portanto, os módulos dos vetores \( \vec{A}\), \( \vec{B} \) e \( \vec{C} \) são \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \) e \( \sqrt{6} \), respectivamente.

3. Calcule o produto escalar entre os vetores  \( \vec{A}\) e \(\vec{B}\).

Resolução:

O produto escalar numa base ortonormal entre dois vetores \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \), denotado por \( \vec{A} \cdot \vec{B} \), é dado pela soma dos produtos de suas componentes correspondentes.

Ou seja, se \( \vec{A} = (A_x, A_y, A_z) \) e \( \vec{B} = (B_x, B_y, B_z) \), então o produto escalar entre \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \) é:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z \)

Dado que \( \vec{A} = \hat{i}+\hat{j} \) e \( \vec{B} =\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\), podemos escrever suas componentes como:

\( \vec{A} = (1, 1, 0) \)

\( \vec{B} = (1, -1, 1) \)

Agora, calculamos o produto escalar:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot -1) + (0 \cdot 1) \)

\( = 1 - 1 + 0 \)

\( = 0 \)

Portanto, o produto escalar entre os vetores \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \) é 0.

4. Calcule o ângulo θ entre os vetores  \( \vec{A}\) e \(\vec{B}\) de duas forma(distintas). Pode expressar os resultados em termos do cosseno e do seno.

Verifique a consistência destas duas respostas. 

Resolução:

Para encontrar o ângulo \( \theta \) entre os vetores \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \), podemos usar a definição do produto escalar:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta) \)

Dado que \( \vec{A} = \hat{i}+\hat{j} \) e \( \vec{B} = \hat{</span><span style="font-style:inherit;">i}-\hat{j}+\hat{k} \), podemos usar os módulos que calculamos anteriormente:

\( |\vec{A}| = \sqrt{2} \)

\( |\vec{B}| = \sqrt{3} \)

E também, o produto escalar \( \vec{A} \cdot \vec{B} \) que calculamos anteriormente:

\( \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \)

Portanto,

\( 0 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\theta) \)

\( \cos(\theta) = 0 \)

Da trigonometria, sabemos que \( \cos(\theta) = 0 \) quando \( \theta = \frac{\pi}{2} \) ou \( \theta = \frac{3\pi}{2} \).

Então, o ângulo entre os vetores \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \) é \( \theta = \frac{\pi}{2} \) ou \( \theta = \frac{3\pi}{2} \).

Agora, para verificar a consistência, podemos usar a relação entre o produto escalar e o produto vetorial

para encontrar o ângulo \( \theta \) entre \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \).

Sabemos que:

\( |\vec{C}| = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot |\sin(\theta)| \)

E temos:

\( |\vec{A}| = \sqrt{2} \)

\( |\vec{B}| = \sqrt{3} \)

\( |\vec{C}| = \sqrt{6} \)

Substituindo estes valores, obtemos:

\( \sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot |\sin(\theta)| \)

Simplificando, obtemos:

\( 1 = |\sin(\theta)| \)

Como \( |\sin(\theta)| = 1 \), isso significa que \( \sin(\theta) = \pm 1 \).

Portanto, o ângulo \( \theta \) entre \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \) pode ser \( \frac{\pi}{2} \) ou \( \frac{3\pi}{2} \). 

Portanto, \( \sin(\theta) = \pm 1 \) implica que \( \theta = \frac{\pi}{2} \) ou \( \theta = \frac{3\pi}{2} \), confirmando a consistência das duas abordagens.

5. Calcule (i) a área do paralelogramo formado pelos vetores  \( \vec{A}\) e \(\vec{B}\) de, e (ii) o volume do paralelepípedo formado pelos vetores\( \vec{A}, \vec{B}\)  e \( \vec{C} \). Use os resultados anteriores. Justifique seus procedimentos.

(i)Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \), usamos o módulo do produto vetorial desses vetores.

A área \( A_p \) de um paralelogramo formado por dois vetores \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \) é dada por:

\( A_p = |\vec{A} \times \vec{B}| \)

Já calculamos o produto vetorial \( \vec{A} \times \vec{B} \) anteriormente e encontramos \( \vec{C} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \). 

Então, o módulo desse vetor é \( |\vec{C}| = \sqrt{6} \).

Portanto, a área do paralelogramo é \( A_p = \sqrt{6} \).

Para calcular o volume do paralelepípedo formado pelos vetores \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), e \( \vec{C} \) usando o determinante, podemos montar uma matriz tridimensional com os vetores como linhas e calcular o determinante dessa matriz. O volume do paralelepípedo(\(V_p\)) é igual ao valor absoluto desse determinante. esse determinante é o produto misto, $\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$?

Dado que \( \vec{A} = \hat{i}+\hat{j} \), \( \vec{B} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \), e \( \vec{C} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \), podemos montar a matriz da seguinte forma:

\( V_p= \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \end{matrix} \right| \)

Agora, podemos calcular o determinante desta matriz. Então obtemos:

\( V_p=(1 \times-1 \times-2)+(1 \times 1 \times 1)+(0 \times 1 \times-1)-(0 \times-1 \times1)-(1 \times1 \times-1)-(1 \times1 \times-2) \)

\( V_p=2+1+0+0+1+2 \)

\( V_p=6 \)

Portanto, o volume do paralelepípedo é \( 6 \).

Portanto, a área do paralelogramo formado por \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \) é \( \sqrt{6} \) e o volume do paralelepípedo formado por \( \vec{A} \), \( \vec{B} \) e \( \vec{C} \) é \( 6 \).