Um dos objetivos principais desta disciplina é apresentar a discentes, de pós graduação em matemática, tópicos de Análise de Fourier Clássica, no âmbito de Séries de Fourier e Teoria da Aproximação, que possuem técnicas fundamentais da teoria. Técnicas estas predominantemente utilizadas por pós-graduando/as do Grupo de Análise Funcional Aplicada em projetos em andamento e em artigos recentes, relacionados à Teoria da Aproximação. Estudar, aprimorar e discutir criticamente temas e resultados relevantes da teoria fazendo analogias com o que existe de recente na literatura, em termos de resultados, também está entre os objetivos da disciplina.

Ementa:

1. Conceitos fundamentais: séries trigonométricas, Lema de Fejér, Transformação de Abel, Método de Abel e estimativas de coeficientes de Fourier em termos de módulo de continuidade.
2. Teoria da Aproximação de funções por funções trigonométricas: Desigualdade de Bernstein, melhor aproximação, módulos de continuidade e de suavidade e módulo de continuidade integral.

3. Coeficientes de Fourier: em termos do módulo de continuidade integral, em termos de funções de variação limitada, somas de Fejér e de Poisson para funções em classes diferentes. Teoremas de Lusin-Denjoy, de Cantor-Lebesgue, métodos de Riemann de somabilidade e aplicação a séries de Fourier.
4. Coeficientes de Fourier de funções Lipschitz, relações entre ordem de somabilidade de funções e coeficientes de Fourier. Teoremas de Kolmogorov- Seliverstov e de Plessner, Teste de Marcinkiewicz, Convergência por medida Logarítimica do conjunto.

5. Somabilidade de Séries de Fourier gerais (princípio de Localização, o método de Abel-Poisson, Teorema de Zygmund e convergência absoluta - Critério de Riesz e Critério de Stechkin).

Bibliografia:

Fundamentais:

F1. Bary, N. K., A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. A Pergamon Press Book The Macmillan Co., New York (1964). Vol. I: xxiii+553 pp. Vol. II: xix+508 pp.
F2. Zygmund, A.,Trigonometric series. Third edition. Cambridge University Press, Cambridge (2002). Vol. I, II., Vol. I: xiv+383 pp.; Vol. II: viii+364 pp.

Complementares:
C1. Grafakos, L., Classical Fourier analysis. Third edition. Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer, New York, (2014). xviii+638 pp.
C2. Duoandikoetxea, J., Fourier Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 29. American Mathematical Society, Providence, RI, (2001). xviii+222 pp.
C3. Kantorovich, L. V.; Krylov, V. I., Approximate methods of higher analysis. Interscience Publishers, Inc., New York; P. Noordhoff Ltd., Groningen (1958). xv+681 pp.
C4. Boyd, John P., Correcting three errors in Kantorovich & Krylov's Approximate methods of higher analysis. Amer. Math. Monthly 123 (2016), no. 3, 241–257. 65- 02.

Critérios de avaliação (pelo menos dois dos seguintes): prova escrita, prova oral, seminário e TCD (Trabalho de Conclusão da Disciplina). Os conceitos finais serão atribuídos numericamente (de 0 (zero) a 10 (dez)) com, no máximo, uma casa decimal, levando em conta os critérios determinados incialmente e pesos considerados. O aproveitamento discente na disciplina se dará da seguinte forma: A, para conceitos finais de 8.5 a 10, B para conceitos finais de 6.5 a 8.4, C para conceitos entre 4.5 e 6.4 e D para conceitos menores que 4.4.