O teorema de Gauss é um teorema matemático que está recolhendo propriedades e condições para que afirmações sejam feitas logicamente e não necessariamente fisicamente.
Um campo vetorial A,
contínuo e diferenciável numa região do
espaço, tem o fluxo calculado através de uma
superfície fechada S, contida na região
acima citada. No interior da superfície fechada (a
região V) está definido o divergente
div(A)
(∇·A).
O Teorema de Gauss afirma que, nessas condições,
,
n é o vetor normal à superfície S em cada ponto dela.
O Teo de Gauss não especifica as
superfícies e os volumes encerrados por elas, só
a continuidade e diferenciabilidade do campo A.
Significa que vale para volumes infinitesimais em torno de
cada ponto.
dV.div(A) =
soma(dSn.A)
.
Ou seja, o divergente de um campo A é o fluxo (número de linhas de campo que espetam a superfície) por unidade de volume. Nos pontos em que é positivo, há, por unidade de volume, mais linhas saindo do que entrando. É porisso que se diz que estamos diante de uma fonte de linhas de campo. Nos pontos em que é negativo, há, por unidade de volume, mais linhas entrando do que saindo. E se diz que se trata de um sorvedouro de linhas de campo.
Por outro lado, um campo vetorial D,
também contínuo e diferenciável
numa região do espaço, tem a
circulação calculada em um percurso fechado
C. (A circulação de um vetor é
uma integral de linha em um percurso fechado.) Considera-se
alguma superfície S que tenha como contorno
o percurso fechado C. Nessa superfície S
está definido o rotacional
rot(D)
(∇×D).
O Teorema de Stokes diz que, nessas condições,
,
sendo n o vetor normal à
superfície S em cada ponto dela e
t é o vetor tangente ao percurso
C, também em cada ponto.
Os sentidos de n e t
estão ligados pela regra da mão direita.
Da mesma forma, podemos tomar um percurso infinitesimal no entorno de qualquer ponto. Enquanto o divergente é um escalar, o rotacional é um vetor. Porisso temos que tomar três direções independentes. (O nosso espaço é tridimensional.)
.
Isso nos diz que o rotacional do vetor tem a direção em torno da qual a circulação é máxima, significa que em torno desse eixo as linhas de campo espiralam ou se retorcem.
Há uns anos atrás, sobre os teoremas, escrevi:
"O teorema de Gauss afirma que o fluxo de
um campo vetorial em uma superfície fechada é
igual à integral volumétrica, no volume interno da
superfície fechada, do divergente do campo vetorial,
se todos os entes aqui mencionados estiverem definidos e forem
contínuos no domínio de cálculo.
O sentido positivo para orientação da
superfície fechada é o para fora.
[Isso não é ambíguo pois 'para fora'
é em direção ao infinito,
uma região ilimitada.]
O teorema de Stokes diz que a circulação de
um campo vetorial (a integral de linha deste campo em
um percurso fechado) é igual ao fluxo do rotacional
deste campo vetorial em uma superfície cuja borda
é o percurso fechado da circulação.
Diferentemente do teorema de Gauss, há aqui
um problema de sentido: seja da orientação da
integral de linha seja do fluxo do rotacional. A igualdade
vale segundo a 'regra da mão direita': se usarmos
a mão direita, fazendo os dedos (do indicador
ao mínimo) seguirem a orientação da
circulação (positiva) do vetor, o polegar
aponta no sentido do fluxo (positivo) do rotacional.
O capítulo 2 do Curso de Física de Berkeley,
vol.2, discute, entre outras coisas, o divergente e
o rotacional de forma que vale a pena lê-lo.
Uma das possibilidades de leitura (da
consideração) desses teoremas é
a utilização da idéia de linhas de
campo para descrever o campo vetorial. [Para relembrar:
o fluxo de um campo vetorial está relacionado com
o número de linhas de campo que cruza
a superfície.] Assim o teorema de Gauss permite
afirmar que o número de linhas de campo por
unidade de volume, que surge (ou que desaparece) é
proporcional ao divergente do campo vetorial no ponto
calculado, se o divergente for positivo (ou negativo).
E o teorema de Stokes diz que o rotacional tem o módulo
proporcional à circulação por unidade de
área transversal e tem a direção e
sentido (segundo a regra da mão direita) da maior
espiralação, retorcimento das linhas de campo,
ou simplesmente tendência de giro."
Notem que o divergente é um operador, que atua em
um campo vetorial, cujo resultado é um escalar.
(No máximo, tem sinal algébrico.) E o que
se pode fazer em torno do ponto a que se refere é
delimitar um volume, ou seja, é envolver
a região por uma superfície fechada.
Por outro lado, o rotacional é um operador,
que também atua em um campo vetorial, cujo resultado
é um vetor (com direção e sentido).
E, para caracterizá-lo, é necessária
uma superfície. E, para isso, utilizamos o contorno da
superfície (um percurso fechado).
Essa é uma questão recorrente para quem se
importa com a significação dos resultados
obtidos nas deduções matemáticas.
A Física utiliza a matemática como
linguagem para expressão da compreensão que
tem da realidade física. Eu costumo diferenciar
significado físico de significado
geométrico, conteúdo geométrico
ou imagem geométrica, entendendo que
o significado físico inclui alguma
consideração de interação
enquanto o conteúdo geométrico corresponde ao
esforço de concretização, possivelmente
baseado na forma, no movimento ou na duração
do fenômeno. Mas isso é bastante polêmico
e esse é um entendimento muito particular.
No contexto eletromagnético, das
interações eletromagnéticas, a energia
potencial de interação fica distribuída
no espaço, exatamente onde está o campo
elétrico, com densidade volumétrica de energia
elétrica igual a
(dU/dV) = (1/2) ε0 E·E.
E a lei de Gauss é UMA LEI FíSICA, pois relaciona o campo elétrico E, com sua fonte radial, a carga elétrica. Já o teorema de Gauss é um teorema matemático, como vimos no destaque anterior.
Influência como sinônimo de ação
de um agente (no contexto da disciplina, carga
elétrica) sobre outro (sistema carregado...) que o
modifica, pode ser expressa pelo campo elétrico.
Nunca pela energia elétrica, uma vez que a
influência de um sub-sistema deve ser propriedade desse
sub-sistema. E a energia elétrica diz respeito ao
sistema todo.
A densidade de energia elétrica pode ter a sua
realidade verificada, ou pelo menos comprovada,
através do cálculo a seguir:
Vamos calcular a energia potencial elétrica de
um sistema de cargas, uma esfera uniformemente carregada,
com carga total Q e raio R, utilizando dois
métodos:
(a) Formando a esfera carregada,
trazendo do infinito um elemento de carga dq,
de quantidade adequada, que se assentará em uma
calota esférica de raio r' e espessura
dr, mantendo a densidade volumétrica constante,
ρo = 3Q/(4πr' 2).
A soma de todas as
contribuições à energia potencial
nesse processo é chamada de auto-energia
do sistema e é a energia dispendida para formar
o sistema. Ela fica armazenada no sistema carregado e
é liberada quando o sistema se desfaz...
(b) Integrando, no espaço todo,
a densidade de energia elétrica.
Verificaremos que, através dos dois métodos,
obtemos a mesma quantidade, aumentando nossa
percepção de consistência.
No link cálculo da energia potencial você encontrará este cálculo de duas maneiras, sendo uma delas por integração da densidade de energia eletrostática.
Além de vocês poderem verificar que os resultados são os mesmos, eu quero comentar que este é o caso onde é possível verificar a energia de formação dos corpos carregados, com carga Q e raio R. Uma carga puntiforme teria uma energia de formação infinita, já que fazendo o raio tende a zero na expressão acima calculada, U vai para infinito.
Não posso deixar de comentar que a idéia de densidade de energia elétrica, descontando a idéia de grandeza distribuída no volume, tem muito a ver com densidade de carga elétrica, pois uma carga puntiforme tem energia distribuída no espaço e sua densidade volumétrica de energia é
uE = (1/2)(1/4π)2 ((1/εo) (Q/r2))2
Aqui a carga é puntiforme e não está distribuída no espaço, mas a energia da carga está distribuída no espaço todo.
Ao calcularmos a energia elétrica de um sistema carregado sabemos que esta energia tem a dimensão de carga vezes potencial elétrico, isto é,
[U] = [Q]·[V].
Percebe-se na própria expressão da energia
potencial em relação ao potencial
elétrico, que a energia tem dois fatores: um para
cada um dos sistemas interagentes. Quando cada um desses
fatores vem de corpos diferentes, não há
problema, pois identificamos claramente os pares
interagentes. Surge problema quando vamos calcular
a auto-energia, isto é, a energia de um sistema
de cargas na presença de si mesmo.
Sabemos que a energia de um sistema (vejam: a energia de
um sistema é a auto-energia deste sistema,
ou seja, a energia de formação do sistema
carregado.) está distribuída em todo o
espaço e sua distribuição é
proporcional a E·E. A pergunta da Rosana
foi: "mas por que o quadrado de E?"
Inicialmente vamo-nos lembrar da auto-energia calculada
no item c. O resultado foi
U = (3/5)·(1/4πεo)·(Q·Q/R).
O quadrado da carga está presente indicando que
a mesma carga está nos polos interagentes.
(Precisamos refletir um pouco: com as cargas
distribuídas, esse procedimento de
integração não conta a
interação de um elemento de carga com
ele mesmo.)
Exatamente a razão do quadrado do campo
elétrico na expressão da densidade de
energia. (Notem que, nesse raciocínio,
utilizamos a identidade carga-campo.)