\chapter{Modelagem} \label{2}
%\label{chapter:title}

\section{Modelo físico} \label{2.1}

Esta seção deve apresentar:
\begin{itemize}
  \item O modelo físico, representado por figuras feitas pelo próprio grupo, como no exemplo mostrado na Fig.~\ref{FIG:2.1}, acompanhado de parágrafos descritivos que expliquem a ``função'' física de cada componente.
  \item A lista de hipóteses simplificadoras adotadas, junto a uma breve reflexão acerca das limitações do modelo. 
  \item Uma tabela listando os parâmetros do modelo (incluindo descrições, símbolos, valores e unidades de medida), como no exemplo mostrado na Tab.~\ref{TAB:2.1}. Deve ficar claro no texto quais as fontes/referências consultadas para a obtenção de cada um dos parâmetros.
\end{itemize}


\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/bike.pdf}
  \caption{Modelo físico da bicicleta de Whipple}
  \label{FIG:2.1}
\end{figure}  


\begin{table}[!h]
  \caption{Tabela com os parâmetros do modelo, com valores obtidos nas referências \cite{example-book,example-website}} 
  \label{TAB:2.1}
  \centering
  \begin{tabular}{lll}
    \hline
    \bf Parâmetro & \bf Símbolo & \bf Valor \\
    \hline
    wheel base & $w$ & $1.02$ m \\
    trail & $c$ & $0.08$ m \\
    steer axis tilt ($\pi/2 -$ head angle) & $\lambda$ & $\pi/10$ rad \\
    gravity & $g$ & $9.81$ N/kg \\
    % \\
    {\em Rear wheel $R$}
    \\
    radius & $r_R$ & $0.3$ m \\
    mass & $m_R$ & $2$ kg \\
    mass moments of inertia & $(I^\circ_{R\mathrm x\mathrm x}, I^\circ_{R\mathrm y\mathrm y})$ & $(0.0603, 0.12)$ kg m${}^2$  \\
    % \\
    {\em Rear body and frame assembly $B$}
    \\
    position centre of mass & $(x^\circ_B, z^\circ_B)$ & $(0.3, -0.9)$ m \\
    mass & $m_B$ & $85$ kg \\
    mass moments of inertia & 
    $\displaystyle 
      \begin{bmatrix} 
        I^\circ_{B\mathrm x\mathrm x} & 0 & I^\circ_{B\mathrm x\mathrm z} \\ 
        0 & I^\circ_{B\mathrm y\mathrm y} & 0 \\
        I^\circ_{B\mathrm x\mathrm z} & 0 & I^\circ_{B\mathrm z\mathrm z} \\ 
      \end{bmatrix}$
    &	
    $\displaystyle 
      \begin{bmatrix} 
        9.2 & 0 & 2.4 \\ 
        0 & 11 & 0 \\
        2.4 & 0 & 2.8 \\ 
      \end{bmatrix}$ kg m${}^2$ \\
    \\[-10pt]
    \hline
  \end{tabular}
\end{table}


\section{Sensores e atuadores} \label{2.2}

Listar quais dispositivos serão utilizados na atuação e no sensoriamento da planta, descrevendo a natureza destes dispositivos, suas limitações e algumas de suas propriedades físicas principais (consultem catálogos de fabricantes e apresentem os parâmetros relevantes para o projeto de controle em tabelas). Por exemplo, se o papel do atuador é aplicar um esforço, é relevante informar os valores máximos que este esforço pode atingir. 



\section{Variáveis de estado, entradas e saídas} \label{2.3}

\begin{itemize}
  \item Descrever o vetor \(\mathbf{x}_\mathrm{n}\) de variáveis de estado a ser adotado na modelagem matemática.
  \item Identificar as entradas, distinguindo:
  \begin{itemize}
    \item o vetor \(\mathbf{u}_\mathrm{n}\) de entradas de controle (entradas vindas dos atuadores);
    \item o vetor \(\mathbf{w}_\mathrm{n}\) de entradas de perturbação. 
  \end{itemize}
  \item Identificar o vetor saídas \(\mathbf{y}_\mathrm{n}\) do modelo (variáveis efetivamente medidas pelos sensores).
\end{itemize}


\section{Modelo matemático} \label{2.4}

Detalhar a dedução das equações de movimento, mostrando cada passo adotado a menos de passagens puramente algébricas. O texto, no entanto, deve detalhar se as passagens algébricas foram feitas pelo próprio grupo ou se houve o uso de alguma ferramenta de computação simbólica. No último caso, explicitar qual(is) pacote(s) de software (versão) foi/foram usados.

Ao final da seção, as equações de movimento devem ser representadas na forma geral de espaço de estados:
\begin{align}
  & \frac{\mathrm{d} \mathbf{x}_\mathrm{n}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{f} (\mathbf{x}_\mathrm{n}, \mathbf{u}_\mathrm{n}, \mathbf{w}_\mathrm{n})
  \\
  & \mathbf{y}_\mathrm{n} = \mathbf{h} (\mathbf{x}_\mathrm{n}, \mathbf{u}_\mathrm{n}, \mathbf{w}_\mathrm{n})
\end{align}


\section{Identificação de pontos de equilíbrio} \label{2.5}

Nesta seção devem ser identificados os pontos de equilíbrio das equações de movimento do sistema. Observem que pontos de equilíbrio podem corresponder a equilíbrios estáticos de fato ou a eventuais soluções em regime permamente do sistema. 

Selecionem um dos pontos (\(\bar{\mathbf{x}}_\mathrm{n}\)) para a linearização a ser apresentada na seção subsequente. Justifique a escolha e interprete fisicamente o ponto de equilíbrio escolhido.


\section{Modelo matemático linearizado} \label{2.6}

Obter o modelo matemático linearizado em torno do ponto de equilíbrio selecionado no item anterior, apresentando-o na forma de espaço de estados:
\begin{align}
  & \frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{A} \mathbf{x} + \mathbf{B} \mathbf{u} + \mathbf{E} \mathbf{w}
  \\
  & \mathbf{y} = \mathbf{C} \mathbf{x} + \mathbf{D} \mathbf{u}
\end{align}
Note que, para obter o modelo linearizado é necessário antes aplicar a transformação de translação: \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_\mathrm{n} - \bar{\mathbf{x}}_\mathrm{n}\), \(\mathbf{u} = \mathbf{u}_\mathrm{n} - \bar{\mathbf{u}}_\mathrm{n}\) e \(\mathbf{y} = \mathbf{y}_\mathrm{n} - \bar{\mathbf{y}}_\mathrm{n}\). Assim, garante-se que, para o sistema linearizado, o ponto de equilíbrio corresponde a \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\).


\section{Funções de transferência, polos e zeros} \label{2.7}

Com base nas entradas e saídas identificadas, mostrar as funções de transferência e tabelar os polos e zeros do modelo linearizado. Discutir a estabilidade do equilíbrio em torno do qual o modelo foi linearizado. 
% Apresentar a tabela de Routh e verificar se seus resultados são consistentes com os polos calculados. 

\section{Testes de controlabilidade e observabilidade} \label{2.8}

Realizar os testes de controlabilidade e observabilidade, mostrando as matrizes obtidas nos respectivos testes algébricos e seus respectivos postos.