##############################################################
#               AULA 18 - Testes de Hipoteses                #
##############################################################

rm(list = ls()); cat('\014')

##############################################################
# Exemplo: slide 11

# Paso 1: Formular hipoteses
#############################
# Ho: po=0.5 (ou maior)
# Ha: po<0.5 

#amostra
n = 379
t = 183
pbarra = t/n
pbarra

#Paso 2: Especificar a estatística sob Ho
#########################################
# Como temos um modelo bernoulli usamos TCL
# para considerar uma Distribuicao amostral sob Ho (p0=0.5)
# pbarra ~ N(po, po(1-po)/n)
# usando Ho
po = 0.5
S2 = po*(1 - po)/n

# pbarra ~ N(0.5, 0.0006596306)


# erro tipo 1 = alfa

#Passo 3: Especificar o nivel de significação
#############################################
alfa = 0.01

# Hipoteses de uma cauda
# valor de ztab para o erro  tipo 1

ztab = qnorm(alfa)
#-2.326348

#Passo 4 Ponte de corte ou valor p
##################################

# a) Encontrando ponto de corte

# encontrar xcorte tal que P(pbarra < xcorte) = alfa
# equivale a encontrar xcorte tal que P(zest < ztab) = alfa
# onde ztab = (xcorte-po)/sqrt(po*(1-po)/n)
# por tanto xcorte = po+sqrt(po*(1-po)/n)*ztab

xcorte = 0.5 + sqrt(S2)*(ztab)
xcorte
#0.4402518


#b) Encontrando o p valor

# P(pchapeu <= pbarra| po)
# P(z <= ztab| po)


ztab = (pbarra-po)/sqrt(po*(1-po)/n)
ztab
#-0.6677651

#valor-p
pnorm(ztab)
#0.2521418

#Passo 5 Decissão
###################

# a) usando região crítica ou xcorte
# REGRA: Se pbarra>xcorte então Aceita Ho
# Usandos os resultados temos 
# Como pbarra = 0.4828496 > xcorte=0.4402518 não rejeitamos H0
#(aceitamos Ho)
# e concluimos que o medicamento é eficaz


# a) usando valor p 
# REGRA: Se valor p>alfa então Aceita Ho
# Usandos os resultados temos 
# Como valor p = 0.2521418> alfa=0.01 não rejeitamos H0
#(aceitamos Ho)
# e concluimos que o medicamento é eficaz