Um ponto fixo de $\psi_1( x )$ satisfaz $$ x = \sqrt[4]{3 + x - 2x^2}. $$ Elevando ambos os lados à quarta potência obtemos $$ x^4 = 3 + x - 2x^2, $$ que é equivalente a $$ x^4 + 2x^2 - x - 3 = 0. $$
Um ponto fixo de $\psi_2( x )$ satisfaz $$ x = \sqrt{\frac{3 + x - x^4}2}. $$ Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos $$ x^2 = \frac{3 + x - x^4}2. $$ Multiplicando ambos os lados por dois obtemos $$ 2x^2 = 3 + x - x^4, $$ que é equivalente a $$ x^4 + 2x^2 - x - 3 = 0. $$
O ponto fixo $x$ deve satisfazer $$ x = 2x - cx^2. $$ Note que $0$ é um ponto fixo, mas a função de iteração $\psi( x ) = 2x - cx^2$ tem derivada $\psi'( x ) = 2 - 2cx$ de modo que $\psi'( 0 ) = 2$ e, portanto, não há como obter convergência para o ponto fixo $0$.
Por outro lado, $1/c$ é ponto fixo de $\psi( x )$ pois $$ \psi\left( \frac 1c \right) = \frac 2c - \frac c{c^2} = \frac 1c. $$
Como os pontos fixos de $\psi$ são soluções de uma quadrática, somente podem existir dois distintos, então não há outros além de $0$ e $1 / c$.
Para haver convergência a o ponto fixo $1/c$ basta que exista $\epsilon > 0$ tal que $|\psi'( x )| < 1$ para todo $x \in ( 1/c - \epsilon, 1/c + \epsilon )$ e que o ponto inicial $x_0$ pertença a tal intervalo.
Deste modo, precisamos encontrar um intervalo onde $|2 - 2cx| < 1$, ou seja, $-1 < 2 - 2cx < 1$. Então, lembrando que $c > 0$, notamos que $$ 2 - 2cx < 1 \Leftrightarrow -2cx < -1 \Leftrightarrow x > \frac 1{2c} = \frac 1c - \frac 1{2c} $$ e que $$ 2 - 2cx > -1 \Leftrightarrow -2cx > -3 \Leftrightarrow x < \frac 3{2c} = \frac 1c + \frac 1{2c}. $$
Portanto, para as iterações convergirem, basta que $$ x_0 \in \left( \frac 1c - \frac 1{2c}, \frac 1c + \frac 1{2c} \right). $$
Notemos que $$ \psi'( x ) = 1 + A'( x )f( x ) + A( x )f'( x ). $$ Ou seja, queremos satisfazer $$ 0 = \psi'( x^* ) = 1 + A'( x^* )f( x^* ) + A( x^* )f'( x^* ). $$ Como $x^*$ é raiz de $f$, temos simplesmente $$ 0 = 1 + A( x^* )f'( x^* ). $$ Ou seja, $$ A( x^* ) = -\frac1{f'( x^* )}. $$ A função mais óbvia que satisfaz essa condição é $$ A( x ) = -\frac1{f'( x )}. $$
A relevância da exigência $\psi'( x^* ) = 0$ é que a velocidade de convergência das iterações de ponto fixo para $x^*$ é mais rápida quando $|\psi'( x^* )|$ tem um valor pequeno. Desta forma, as iterações acima proipostas com $A( x ) = -1/{f'( x )}$ equivalem ao método de Newton que, sob condições favoráveis, possui convergência quadrática.
import matplotlib.pyplot as pp
import numpy as np
pp.rcParams[ 'text.usetex' ] = True
f = lambda x: np.sin( x )
df = lambda x: np.cos( x )
x = np.linspace( -0.5, 1.0, 200 )
y = f( x )
pp.figure( figsize = ( 7, 5 ) )
pp.plot( x, y )
pp.plot( [ x.min(), x.max() ], [ 0.0, 0.0 ], 'b' )
x_k = 0.8
f_x_k = f( x_k )
df_x_k = df( x_k )
x_k_p = x_k - f_x_k / df_x_k
pp.plot( [ x_k, x_k_p ], [ f_x_k, 0.0 ], 'k' )
pp.plot( [ x_k, x_k ], [ f_x_k, 0.0 ], 'k' )
pp.plot( [ x_k, x_k_p ], [ 0.0, 0.0 ], 'k' )
pp.plot( [ x_k, x_k ], [ 0.0, y.min() ], ':k' )
pp.plot( [ x_k_p, x_k_p ], [ 0, y.min() ], ':k' )
pp.plot( [ x.min(), x_k ], [ f_x_k, f_x_k ], ':k' )
pp.axis( ( x.min(), x.max(), y.min(), 1.1 * y.max() ) )
pp.xticks( [ x_k, x_k_p ], [ '\LARGE$x_k$', '\LARGE$x_{k + 1}$' ] )
pp.yticks( [ 0.0, f_x_k ], [ '\LARGE$0$', '\LARGE$f(x_k)$' ] )
pp.show()
Como podemos ver no gráfico acima, o Método de Newton utiliza o ponto de instersecção da tangente ao gráfico da função no ponto $x_k$ como próxima iteração $x_{k + 1}$, justificando a denominação "método da tangente".
Observando o triângulo da figura, notamos que vale $$ \tan \theta = \frac{f( x_k )}{x_k - x_{k + 1}}, $$ onde $\theta$ é o ângulo entre a hipotenusa e o eixo horizontal. Desta forma, $$ f'( x_k ) = \frac{f( x_k )}{x_k - x_{k + 1}}. $$ Portanto, $$ x_k - x_{k + 1} = \frac{f( x_k )}{f'( x_k )}. $$ Finalmente, temos a forma da iteração do Método de Newton: $$ x_{k + 1} = x_k - \frac{f( x_k )}{f'( x_k )}. $$
Comecemos desenvolvendo a formulação original: $$ \begin{split} x_{k + 1} &{}= x_k - f( x_k )\frac{x_k - x_{k - 1}}{f( x_k ) - f( x_{k - 1} )}\\ &{}= \frac{x_kf( x_k ) - x_kf( x_{k - 1} ) - f( x_k )x_k + f( x_k )x_{k - 1}}{f( x_k ) - f( x_{k - 1} )}\\ &{}= \frac{f( x_k )x_{k - 1} - x_kf( x_{k - 1} )}{f( x_k ) - f( x_{k - 1} )} \end{split} $$ como desejado. Agora, partindo deste resultado: $$ \begin{split} x_{k + 1} &{}= \frac{f( x_k )x_{k - 1} + f( x_{k - 1} )x_{k - 1} - f( x_{k - 1} )x_{k - 1} - x_kf( x_{k - 1} )}{f( x_k ) - f( x_{k - 1} )}\\ &{}= \frac{( f( x_k ) - f( x_{k - 1} ) )x_{k - 1} + f( x_{k - 1} )(x_{k - 1} - x_k)}{f( x_k ) - f( x_{k - 1} )}\\ &{}= x_{k - 1} - f( x_{k - 1} )\frac{x_k - x_{k - 1}}{f( x_k ) - f( x_{k - 1} )}. \end{split} $$
O motivo pelo qual a segunda forma é menos estável numericamente é porque o valor para o qual a sequência $\{ x_k \}$ deveria convergir em aritmética exata pode ser muito menor do que o valor para o qual a sequência $\{ f( x_k ) - f( x_{k - 1} ) \}$ converge (de fato, esta última sequência converge para $0$). Deste modo, em aritmética de ponto flutuante, os erros de arredondamento que ocorrem no numerador podem vir a ser amplificados na divisão.
Na forma original, o termo $f( x_k )\frac{x_k - x_{k - 1}}{f( x_k ) - f( x_{k - 1} )}$ fica pequeno comparado a $x_k$ fazendo com que os erros de arredondamento potencialmente grande existentes na fração sejam reduzidos sucessivamente, finalmente pouco importando no resultado final da iteração.