tópicos:

  1. testes de hipótese
  • 1.1 comparação de médias e variâncias: a distância à LMC
  • 1.2 testes com simulações de bootstrap
  • 1.3 Einstein x Newton
  • 1.4 teste de proporção
  • 1.5 exercícios com a biblioteca MASS do R
  1. comparação de distribuições
  • 2.1 comparação de distribuições de variáveis nominais com o \(\chi^2\)
  • 2.2 o teste de Kolmogorov- Smirnov (KS)
  1. análise de correlação
  1. o caso da galáxia sem matéria escura
  1. exercícios

1. testes de hipótese

Vamos discutir vários testes de hipóteses usando tanto as funções que implementam estes testes em R quanto simulações. Simulações são uma ferramenta poderosa para testar hipóteses e comparar distribuições.

1.1 Distância à LMC

A distância à Grande Nuvem de Magalhães (LMC) é um “degrau” decisivo na calibração de distâncias. Esta distância é usualmente expressa em termos do “módulo de distância”: \(DM = 5 \log d -5\), onde \(d\) é a distância em parsecs.

O arquivo http://www.explorationday.psu.edu/datasets/LMC_distance.html contém distâncias obtidas por dois conjuntos de métodos diferentes, com indicadores de distância baseados em objetos de população I e de população II. Será que a média e o desvio padrão de cada conjunto de indicadores são consistentes entre si?

Os DM para cada população são dados abaixo:

popI = c(18.7,18.55,18.55,18.575,18.4,18.42,18.45,18.59,18.471,18.54,18.54,18.64,18.58)
popII = c(18.45,18.45,18.44,18.3,18.38,18.5,18.55,18.52,18.4,18.45,18.55,18.69)

# tamanho das populações
length(popI)
## [1] 13
length(popII)
## [1] 12
# estatísticas
summary(popI)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   18.40   18.47   18.55   18.54   18.58   18.70
c(mean(popI),sd(popI))
## [1] 18.53892308  0.08562073
summary(popII)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   18.30   18.43   18.45   18.47   18.53   18.69
c(mean(popII),sd(popII))
## [1] 18.47333333  0.09930058
# distribuições de DM
hist(popII, col=rgb(1,0,0,0.5),xlim=c(18.2,18.8), ylim=c(0,6), main='distância à LMC', xlab='DM')
hist(popI, col=rgb(0,0,1,0.5), add=T)
box()

As médias e desvio padrão para as populações I e II são: \[ DM_I = 18.539 \pm 0.086\] e \[ DM_{II} = 18.473 \pm 0.099 \] Vamos usar o R para comparar os dois conjuntos de dados.

Vamos comparar as médias de DM com a função t.test(). Vamos considerar dois casos: supondo variâncias diferentes e iguais para os dois conjuntos de dados.

H\(_0\): as duas populações têm a mesma média

# teste t supondo a mesma variância para as duas populações 
t.test(popI,popII, var.equal=TRUE)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  popI and popII
## t = 1.7729, df = 23, p-value = 0.08949
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.01094255  0.14212203
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  18.53892  18.47333
# teste t supondo variâncias diferentes para as duas populações 
t.test(popI,popII, var.equal=FALSE)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  popI and popII
## t = 1.762, df = 21.847, p-value = 0.09205
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.0116397  0.1428192
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  18.53892  18.47333

O valor p, nos dois casos, é relativamente alto (\(\sim10\)%). Não se pode rejeitar H\(_0\) com \(\alpha=0.01\) mas se pode rejeitar com \(\alpha=0.1\).

Note que no primeiro caso foi aplicada a versão de Student do teste e, no segundo, a versão de Welch: a versão de Student assume distribuições gaussianas de mesma variância, enquanto que na versão de Welch as variâncias podem ser diferentes.

Vamos agora comparar as variâncias com o teste F, usando a função var.test().

H\(_0\): a variância das duas amostras é igual

var.test(popI,popII)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  popI and popII
## F = 0.74345, num df = 12, denom df = 11, p-value = 0.6169
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.216775 2.469370
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.7434543

o valor p é muito alto: não se pode rejeitar a hipótese de que as duas variâncias são iguais.

1.2 Testes com simulações de bootstrap

O bootstrap é uma técnica poderosa de simulação de dados e pode ser usado para se fazer testes estatísticos.

Por exemplo, suponha que queremos testar a hipótese de que a mediana dos DM da população I é maior que a dos da população II.

Vamos fazer isso com simulações:

# reprodutibilidade
set.seed(123)

# tamanho das amostras
nI = length(popI)
nII = length(popII)

# número de simulações
nsim = 10000

# medianas de DM observadas
c(median(popI),median(popII))
## [1] 18.55 18.45
median(popI)-median(popII)
## [1] 0.1
# simulação 
simI = replicate(nsim, median(sample(popI,size=nI, replace=TRUE)))


simII = replicate(nsim, median(sample(popII,size=nII, replace=TRUE)))


par(mfrow = c(1, 2))
hist(simI,col='aquamarine',xlab='mediana de DM', main='pop I')
hist(simII,col='aquamarine',xlab='mediana de DM', main='pop II')

sim = simI - simII
par(mfrow = c(1, 1))
hist(sim,col='orange',xlab='diferença nas medianas', main='med(pop I) - med(popII)')

# probabilidade de que a mediana de DM da população I é maior que a da população II:
prob = length(sim[sim > 0]) / nsim

prob
## [1] 0.9545

A probabilidade da mediana dos indicadores de população I ser maior que a dos de população II é de 95.5%.

1.3 Einstein x Newton

Se a variável tem uma distribuição mais ou menos gaussiana, pode-se usar o teste-t (na verdade se usa ele mesmo sem essa condição!).

O desvio gravitacional da luz de uma estrela pelo Sol, previsto pela Relatividade Geral, é 1.75 arcsec. Durante um eclipse um astrônomo mede 3 estrelas e obtém \(1.60 \pm 0.10\) arcsec. Esse resultado é consistente com a hipótese nula de que \(\alpha=1.75\) arcsec?

# vamos calcular a estatística t:
alfa_GR = 1.75
alfa_obs = 1.60
sigma = 0.10
n = 3

t = (alfa_obs-alfa_GR)/(sigma/sqrt(n))
t
## [1] -2.598076
# valor-p:
1-pt(t,df=n-1)
## [1] 0.939155

O valor-p é alto e não permite descartar a Relatividade Geral

E a teoria newtoniana? Nesse caso o valor previsto para a deflexão da luz é exatamente a metade do valor da relatividade geral:

# vamos calcular a estatística t:
alfa_N = 1.75/2

t = (alfa_obs-alfa_N)/(sigma/sqrt(n))

# valor-p:
1-pt(t,df=n-1)
## [1] 0.003140981

Já este valor é bem mais baixo! As observações não são consistentes com a teoria da gravitação newtoniana com um nível de significância de 1%.

1.4 Teste de proporção numa amostra

Vamos supor que selecionamos ao acaso 100 objetos de uma amostra de estrelas e galáxias e encontramos entre eles 42 galáxias. Esse valor é consistente com a proporção verdadeira \(\theta\) ser 50%?

Hipótese nula H\(_0\): \(\theta=0.5\)

Vamos fazer um teste de proporção via simulação

Nesse caso, simula-se distribuições de acordo com \(H_0\) e verifica-se a probabilidade de se obter uma proporção \(\theta\)

Assume-se que as distribuições são binomiais.

Vamos exemplificar com o caso de 42 galáxias em uma amostra de 100 objetos.

# baseado em
# http://mlwiki.org/index.php/Simulation_For_Proportions

# reprodutibilidade
set.seed(123)

# H0: proporção de galáxias
theta=0.5

# tamanho da amostra
n=100

# número de simulações
nsim = 100000

# número de galáxias observado
nobs = 42

# proporção observada
theta_obs = nobs/n

# simulação
theta_sim = rbinom(n=nsim, size=n, prob=theta) / n

# valor-p
valor.p = sum(theta_sim <= theta_obs) / nsim

valor.p
## [1] 0.06651

Vamos comparar o valor-p obtido com a simulação com o da função prop.test():

prop.test(42,100,p=theta,alternative='less')
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  42 out of 100, null probability theta
## X-squared = 2.25, df = 1, p-value = 0.06681
## alternative hypothesis: true p is less than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.5072341
## sample estimates:
##    p 
## 0.42
# o valor p dado pelo teste é muito parecido com o obtido pela simulação

1.5 Exercícios com a biblioteca MASS do R

Visitem o site http://www.r-tutor.com/category/r-packages/mass

ele contém vários tutoriais mostrando como aplicar testes estatísticos com a biblioteca MASS:

  • Wilcoxon Signed-Rank Test: teste não paramétrico para testar se amostras vêm da mesma população
  • teste de independência de duas variáveis
  • proporção de duas populações
  • etc…

2 comparação de distribuições

2.1 teste do \(\chi^2\) para comparar variáveis nominais

Novais & Sodré (2018) classificaram galáxias do projeto CALIFA de acordo com a morfologia da emissão em H\(\alpha\) em duas grandes classes: C (de central) e Ex (de extended), quando o máximo da emissão ocorre no centro da galáxia e fora dele, respectivamente.

Vamos examinar se esses tipos se correlacionam de algum modo com os tipos morfológicos das galáxias. A tabela abaixo mostra a frequência das classes na amostra:

C Ex
E-S0 29 1
S-early 12 11
S-late 22 11

Duas variáveis aleatórias x e y são ditas independentes se a probabilidade de uma não é afetada pela outra.

Hipótese nula: \(H_0\): as duas variáveis (tipo morfológico e tipo de perfil H\(\alpha\)) são independentes

Hipótese alternativa: \(H_A\): as duas variáveis são relacionadas

Vamos construir uma matriz desses dados como

NIJ = matrix(c(29,12,22,1,11,11),nrow=3)
NIJ
##      [,1] [,2]
## [1,]   29    1
## [2,]   12   11
## [3,]   22   11

estatística: \[ \chi^2 = \sum_{i,j} {(N_{ij} -n_{ij})^2 \over n_{ij}} \] onde \(N_{ij}\) são as contagens observadas e \(n_{ij}\) é o valor esperado para as contagens. Se as linhas e colunas forem independentes pode-se mostrar que: \[n_{ij} = {(\sum_j N_{ij}) (\sum_i N_{ij}) \over N} \]

Assim,

ni = apply(NIJ,1,sum)
nj = apply(NIJ,2,sum)
chi2=0
for (i in 1:3){
  for (j in 1:2){
    nij=ni[i]*nj[j]/sum(NIJ)
    chi2=chi2+(NIJ[i,j]-nij)^2/nij
  }
}

#chi2
chi2
## [1] 14.34133
# número de graus de liberdade neste caso:
ndof=length(ni)*length(nj)-length(ni)-length(nj)+1
ndof
## [1] 2
# chi2 reduzido
chi2/ndof
## [1] 7.170666
# valor p
1-pchisq(chi2,ndof)
## [1] 0.0007688102

ou podemos usar diretamente a função chisq.test() do R:

chisq.test(NIJ)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  NIJ
## X-squared = 14.341, df = 2, p-value = 0.0007688

Como o valor p é pequeno, (menor que um nível de significância de, digamos, \(\alpha = 0.01\)), rejeitamos \(H_0\) e concluímos que o teste indica que as duas variáveis são relacionadas.

2.2 teste de Kolmogorov-Smirnov (KS)

KS é um teste muito usado para verificar se duas distribuições unidimensionais são iguais, comparando suas distribuições cumulativas.

Vamos ilustrar os indicadores de distância baseados em objetos de população I e de população 2 para a LMC:

ks.test(popI,popII, alternative="two.sided")
## Warning in ks.test(popI, popII, alternative = "two.sided"): cannot compute exact
## p-value with ties
## 
##  Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  popI and popII
## D = 0.44231, p-value = 0.1739
## alternative hypothesis: two-sided

Como o teste KS é baseado no ordenamento dos valores das duas distribuições, ele avisa quando há dados repetidos (ties) e usa uma aproximação para estimar o valor-p.

No caso, o valor p é alto: não se pode rejeitar \(H_0\), as duas distribuições são consistentes entre si!

A função ks.test() também faz o chamado one sample test, onde se pode verificar se a amostra em análise é consistente com uma certa distribuição, usando sua forma cumulativa. Por exemplo, será que a distribuição dos módulos de distância dos objetos de população I é gaussiana?

hist(popI,col='gold')

ks.test(popI,'pnorm')
## Warning in ks.test(popI, "pnorm"): ties should not be present for the
## Kolmogorov-Smirnov test
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  popI
## D = 1, p-value = 1.022e-11
## alternative hypothesis: two-sided

O valor-p é muito pequeno: os dados não são consistentes com uma gaussiana.

3. análise de correlação

Vamos considerar o uso dos coeficientes de correlação para analisar a relação entre duas variáveis.

Funções úteis:

  • cor(): correlação entre dois vetores, todas as colunas de um data.frame ou dois data.frames
  • cor.test(): testa a significância de uma correlação

Vamos ilustrar estas funções com dados de parâmetros de galáxias em Novais & Sodré (2018). Será que a idade média e a metalicidade das populações estelares das galáxias da amostra estão correlacionadas?

# arquivo de dados
# coloque aqui o endereço onde está a tabela
tab = read.table('/home/laerte/cursos/dados/2022/dados/novais.txt', head = TRUE)
head(tab)
##    Galaxy     Mr  u.r logt  logZ logMstar Hubble_type Morphological_class
## 1  IC0776 -18.69 1.94 8.34 -0.27     9.59          Sd               Slate
## 2  IC1256 -20.81 2.21 9.08 -0.29    10.72          Sb              Searly
## 3  IC1683 -20.75 2.54 9.31 -0.24    10.76          Sb              Searly
## 4  IC4566 -21.51 2.88 9.30 -0.26    11.01          Sb              Searly
## 5 NGC0001 -21.11 2.24 8.89 -0.35    10.82         Sbc               Slate
## 6 NGC0036 -21.86 2.48 9.30 -0.34    11.22          Sb              Searly
##   Halpha_profile   cr ceHalpha ccHalpha  eps
## 1             CL 1.95     0.55     0.20 0.28
## 2             CL 2.19     0.57     0.22 0.20
## 3             CL 2.59     0.30     0.77 0.28
## 4             EX 2.24     0.63     0.08 0.26
## 5             CE 3.04     0.52     0.40 0.25
## 6             EX 2.49     0.72     0.05 0.25
# significado das colunas:
# galaxy name, absolute magnitude $M_r$, colour u−r, mean age (log(age/yr)), metallicity (Z/Zsun), stellar mass (log(M/Msun)), Hubble type, morphological class, type of the Halpha profile, light concentration, effective concentration, central concentration, and ellipticity

# a correlação entre dois vetores pode ser calculada com a função cor()
# faça ?cor para saber mais sobre esta função

# o parâmetro method permite escolher a estatística de correlação e covariância, onde as opções são "pearson" (default), "spearman" ou "kendall"
cor(tab$logt,tab$logZ,method = 'pearson')
## [1] 0.4555887
cor.test(tab$logt,tab$logZ,method = 'pearson')
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  tab$logt and tab$logZ
## t = 4.6906, df = 84, p-value = 1.045e-05
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.2697521 0.6087068
## sample estimates:
##       cor 
## 0.4555887
cor.test(tab$logt,tab$logZ,method = 'spearman')
## Warning in cor.test.default(tab$logt, tab$logZ, method = "spearman"): Cannot
## compute exact p-value with ties
## 
##  Spearman's rank correlation rho
## 
## data:  tab$logt and tab$logZ
## S = 50877, p-value = 2.879e-07
## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
## sample estimates:
##       rho 
## 0.5200067
cor.test(tab$logt,tab$logZ,method = 'kendall')
## 
##  Kendall's rank correlation tau
## 
## data:  tab$logt and tab$logZ
## z = 4.7678, p-value = 1.862e-06
## alternative hypothesis: true tau is not equal to 0
## sample estimates:
##       tau 
## 0.3568582
plot(tab$logt,tab$logZ,xlab='log t (Ganos)',ylab='log Z/Zsol',main='',pch=20,col='salmon')

Note como diferentes estatísticas produzem resultados diferentes para o coeficiente de correlação.

No caso, existe correlação, ela não é muito forte (os coeficientes de correlação não são muito altos) mas é significativa (valor-p pequeno).

Vamos agora avaliar a correlação entre a magnitude absoluta na banda r e a massa estelar:

cor.test(tab$Mr,tab$logMstar,method = 'spearman')
## Warning in cor.test.default(tab$Mr, tab$logMstar, method = "spearman"): Cannot
## compute exact p-value with ties
## 
##  Spearman's rank correlation rho
## 
## data:  tab$Mr and tab$logMstar
## S = 210120, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
## sample estimates:
##        rho 
## -0.9823558
plot(tab$Mr,tab$logMstar,xlab='Mr',ylab='log Mstar/Msol',main='',pch=20,col='salmon')

essa (anti)correlação é muito forte!

Pode-se calcular várias correlações ao mesmo tempo:

library(corrplot)
## corrplot 0.84 loaded
library(RColorBrewer)
M <-cor(tab[,c(2:6)],method = 'spearman')  
M
##                  Mr        u.r       logt       logZ   logMstar
## Mr        1.0000000 -0.5844048 -0.6181165 -0.4360995 -0.9823558
## u.r      -0.5844048  1.0000000  0.8135370  0.4571195  0.6258605
## logt     -0.6181165  0.8135370  1.0000000  0.5200067  0.6826351
## logZ     -0.4360995  0.4571195  0.5200067  1.0000000  0.4785962
## logMstar -0.9823558  0.6258605  0.6826351  0.4785962  1.0000000

A função corrplot da biblioteca de mesmo nome permite plotar a significância de várias variáveis ao mesmo tempo:

library(corrplot)
library(RColorBrewer)
M <-cor(tab[,c(2:6,10:13)],method = 'pearson')  
corrplot(M, type="upper", order="hclust",
         col=brewer.pal(n=8, name="RdYlBu"))

4. o caso da galáxia sem matéria escura

van Dokkum et al. (2018), Nature: A galaxy lacking dark matter

van Dokkum e colaboradores publicaram em 2018 um artigo na revista Nature onde argumentavam que a galáxia ultra difusa NGC1052-DF2 não apresenta matéria escura.

Para chegar a essa conclusão os autores mediram a velocidade radial de 10 aglomerados globulares dessa galáxia. A dispersão dessas velocidades junto com medidas das posições dos aglomerados permite estimar a massa da galáxia fazendo uso do teorema do virial.

O teorema do virial estabelece que, em um sistema gravitacional em equilíbrio, a energia cinética é metade do módulo da energia potencial: \[T = {1 \over 2} M <v^2> ~=~ {1 \over 2} |W|~=~ {G M^2 \over 2 R}~~~~\longrightarrow ~~~~ M = {R <v^2> \over G }\] Assim, fazendo-se medidas de velocidades e posições, pode-se determinar a massa do sistema. O termo \(<v^2>\) é a dispersão de velocidades. Foi aplicando o teorema do virial nos aglomerados de galáxias de Virgo e Coma que Zwicky, em 1933, descobriu a matéria escura.

No paper os autores escrevem: “We infer that its velocity dispersion is less than 10.5 kilometres per second with 90 per cent confidence” e é isso que acaba levando à conclusão de que a galáxia não tem matéria escura.

O resultado chamou muito a atenção e, em particular, Nicolas Martin escreveu no twiter (https://twitter.com/nfmartin1980/status/982245161735372804)

Como escreveu o Nicolas Martin, “extraordinary claims requires extraordinary proofs”, e ele e um aluno reexaminaram o que os autores fizeram. Em resumo: a análise estatística do artigo está errada. Aparentemente os autores não levaram em conta os grandes erros nas medidas das velocidades (Nature, que papelão!)… O Nicolas enfatiza a necessidade de sempre se deixar claro o modelo estatístico que se usa! E, como veremos, não se deve aplicar cegamente testes estatísticos.

Os dados de velocidade dos aglomerados globulares (em relação ao centro da galáxia) e respectivos erros são

v=c(15,-4,2,11,1,2,-1,-14,-39,-3)
err=c(7,15,7,3,6,5,10,6,12,13)
#o histograma dessas velocidades e de seus erros  é
par(mfrow=c(1,2))
hist(v,col='aquamarine',main='v')
hist(err,col='aquamarine',main='erros em v')

# e a média e a dispersão de v são:
mean(v)
## [1] -3
sd(v)
## [1] 14.9369

Notem que os erros são, em alguns casos, da mesma ordem de grandeza que as velocidades! Medir com precisão essas velocidades é difícil!

no paper: “We infer that its velocity dispersion is less than 10.5 kilometres per second with 90 per cent confidence”

A pergunta que os autores do paper provavelmente fizeram foi algo do tipo: qual é a probabilidade de se ter um valor para a dispersão de velocidades igual ou menor que 10.5 km/s?

Note que, como a massa é proporcional à dispersão de velocidades, um limite em \(<v^2>\) é um limite em massa.

Supondo que o ponto mais a esquerda é um outlier e removendo-o da análise, temos que

v=c(15,-4,2,11,1,2,-1,-14,-3)
err=c(7,15,7,3,6,5,10,6,13)

#o histograma dessas velocidades é
hist(v,col='aquamarine',main='velocidades')

# e a média e a dispersão de v são:
mean(v)
## [1] 1
sd(v)
## [1] 8.42615

Vamos inicialmente supor que os dados foram extraídos de uma gaussiana de média 1 km/s e desvio padrão 8.4 km/s e vamos determinar qual é a probabilidade de se obter uma distribuição com dispersão de velocidades menor que 10.5 km/s fazendo uma simulação:

# reprodutibilidade
set.seed(123)

# número de simulações
nsim = 100000

# parâmetros da distribuição de velocidades
n = length(v)
vmed = mean(v)
sdvm=sd(v)

# velocidade limite
sigvlim=10.5

# simulação
sigv = replicate(nsim,sd(rnorm(n, mean=vmed,sd=sdvm)))

hist(sigv,col='aquamarine',main='sigma_v')
abline(v=sigvlim,lwd=2)

# probabilidade:
length(sigv[sigv < sigvlim])/nsim
## [1] 0.86592

Não foi bem isso que os autores fizeram mas o resultado é parecido com o que eles obtiveram.

Vamos agora levar em consideração o erro nas velocidades e supor que cada velocidade é produzida por uma distribuição N(mean=v,sd=err). Vamos gerar muitas realizações dessas medidas, determinar a dispersão de velocidades em cada caso e analisar a distribuição resultante das dispersões de velocidade.

Primeiro sem o outlier:

# reprodutibilidade
set.seed(123)

# número de simulações
nsim = 100000

# simulação
sigv = replicate(nsim,sd(rnorm(n, mean=v,sd=err)))

hist(sigv,col='aquamarine',main='sigma_v')
abline(v=sigvlim,lwd=2)

# probabilidade:
length(sigv[sigv < sigvlim])/nsim
## [1] 0.30771

Agora incluindo o “outlier”:

vm=c(15,-4,2,11,1,2,-1,-14,-39,-3)
errv=c(7,15,7,3,6,5,10,6,12,13)


ns = length(vm)

e refazendo a simulação:

# reprodutibilidade
set.seed(123)

# número de simulações
nsim = 100000

# simulação
sigv = replicate(nsim,sd(rnorm(ns, mean=vm,sd=errv)))

hist(sigv,col='aquamarine',main='sigma_v')
abline(v=sigvlim,lwd=2)

# probabilidade:
length(sigv[sigv < sigvlim])/nsim
## [1] 0.01297

Com ou sem outlier as probabilidades são muito menores que 90%!

Não se deve aplicar testes estatísticos cegamente!

5. exercícios

  1. Um estudante precisa testar as hipóteses H\(_0\): \(\mu= 80\) e H\(_A\): \(\mu > 80\) com \(\alpha=0.05\). Analisando a amostra, ele calcula o valor p, 0.214,e conclui que “este resultado prova que H\(_0\) é verdadeiro’’. Comente esta conclusão e a reescreva corretamente.
  1. Observamos algumas estrelas que achamos que podem ser variáveis e uma outra de comparação, que achamos que não é. Observamos 10 noites seguidas obtendo as seguintes medidas (os vetores correspondem a noites sucessivas):
estrela1 = c(14.99, 14.73, 15.18, 15.10, 15.20, 14.89, 15.50, 14.69, 15.25, 14.85)  
estrela2 = c(15.55, 15.48, 15.68, 15.53, 15.43, 15.54, 15.70, 15.57, 15.60, 15.65) 
comparacao = c(15.28, 15.30, 15.32, 15.35, 15.26, 15.28, 15.30, 15.27, 15.26, 15.28)
  1. Faça box plots para visualizar as distribuições das magnitudes de cada um desses objetos.
  1. Adotando um nível de confiança de 99%, o que você concluiria sobre a variabilidade dessas duas estrelas? Use tanto a função var.test() quanto simulações e comente seu resultado
  1. A função ks.test do R permite fazer testes comparando duas amostras (two-sample test) ou comparando os dados com uma distribuição teórica (one-sample test). Considere a sequência de pontos: 1.41, 0.25, 0.26, 1.97, 0.33, 0.55, 0.77, 1.46, 1.18, 0.23. Discuta se existe alguma evidência de que estes dados não resultem de uma distribuição uniforme entre 0 e 2. Faça um teste de Kolmogorov-Smirnov e comente o resultado.
  1. Examine a correlação entre a cor (u-r) com a idade (logt) e com a metalicidade (logZ) para a amostra em novais.txt. O que você conclui? Discuta se e como esse resultado depende do método usado para medir a correlação.
  1. Procure na internet e descreva sucintamente o que é o coeficiente de correlação de Kendall.