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   "source": [
    "# PRO5765 Modelagem e Simulação de Sistemas de Produção\n",
    "## Lista 4a – Simulação de Monte Carlo\n",
    "### Entrega ao final da aula, exercícios: 1, 3, 6, 7 e 8"
   ]
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    "### Nome (número USP) em ordem alfabética"
   ]
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    "1. Aluno 1 (9999999)\n",
    "2. Aluno 2 (9999999)\n",
    "3. Aluno 3 (9999999)\n",
    "4. Aluno 4 (9999999)"
   ]
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    "### Questões"
   ]
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    "1. Defina Simulação de Monte Carlo."
   ]
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    "2. Explique os conceitos de exatidão, eficiência, independência e repetibilidade na geração de números aleatórios (GNA)."
   ]
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    "3. Explique como funciona o método da função inversa de GNA."
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    "4. Explique como funciona o método da aceitação e rejeição para GNA."
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    "### Exercícios"
   ]
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    "1. Utilizando o método da função inversa e as amostras de números aleatórios dadas, gerar amostras com n=10 observações para cada uma das distribuições abaixo. Para cada amostra, calcule a média e o desvio padrão e compare com os valores esperados."
   ]
  },
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    "a) Uniforme, com valor mínimo 0,5 e máximo 1,5"
   ]
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    "| i  | 1      | 2      | 3      | 4      | 5      | 6      | 7      | 8      | 9      | 10     |\n",
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    "| ui | 0,8042 | 0,2000 | 0,7993 | 0,9015 | 0,0070 | 0,9145 | 0,4397 | 0,5079 | 0,2896 | 0,9024 |\n",
    "| xi |    -   |    -   |    -   |    -   |    -   |    -   |    -   |    -   |    -   |    -   |"
   ]
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    "**Solução**"
   ]
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   "source": [
    "$$ X = a + (b-a) \\cdot U $$\n",
    "$$ E[X] = {{a + b} \\over 2} $$\n",
    "$$ V[X] = {{(b - a)^2} \\over 12} $$"
   ]
  },
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    "import numpy as np"
   ]
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   "source": [
    "us = [0.8042, 0.2000, 0.7993, 0.9015, 0.0070, 0.9145, 0.4397, 0.5079, 0.2896, 0.9024]\n",
    "a=0.5\n",
    "b=1.5\n",
    "xs = [round(a+(b-a)*u,4) for u in us]\n",
    "print(us)\n",
    "print(xs)\n",
    "print('%6.4f %6.4f' %(np.mean(xs),np.std(xs,ddof=1)))"
   ]
  },
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    "| i  | 1      | 2      | 3      | 4      | 5      | 6      | 7      | 8      | 9      | 10     |\n",
    "|----|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n",
    "| ui | 0,8042 | 0,2000 | 0,7993 | 0,9015 | 0,0070 | 0,9145 | 0,4397 | 0,5079 | 0,2896 | 0,9024 |\n",
    "| xi | 1.3042 | 0.7000 | 1.2993 | 1.4015 | 0.5070 | 1.4145 | 0.9397 | 1.0079 | 0.7896 | 1.4024 |"
   ]
  },
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   "execution_count": null,
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    "EX=(a+b)/2\n",
    "VX=(b-a)**2/12\n",
    "DPX=VX**0.5\n",
    "print('%6.4f %6.4f' %(EX,DPX))"
   ]
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    "b) Exponencial, com média 2,0"
   ]
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    "| i  | 1      | 2      | 3      | 4      | 5      | 6      | 7      | 8      | 9      | 10     |\n",
    "|----|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n",
    "| ui | 0.9729 | 0.6578 | 0.5678 | 0.4145 | 0.7720 | 0.8005 | 0.7777 | 0.4474 | 0.4806 | 0.5639 |\n",
    "| xi |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |"
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    "c) Triangular, com a=0, b=2, c=5"
   ]
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    "| i  | 1      | 2      | 3      | 4      | 5      | 6      | 7      | 8      | 9      | 10     |\n",
    "|----|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n",
    "| ui | 0.3780 | 0.7993 | 0.3118 | 0.2861 | 0.5463 | 0.4032 | 0.9311 | 0.3015 | 0.5795 | 0.6270 |\n",
    "| xi |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |"
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    "d) Normal, com média 1,0 e desvio-padrão 0,2"
   ]
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   "source": [
    "| i  | 1      | 2      | 3      | 4      | 5      | 6      | 7      | 8      | 9      | 10     |\n",
    "|----|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n",
    "| ui | 0.5431 | 0.6333 | 0.2671 | 0.9290 | 0.7829 | 0.0914 | 0.8355 | 0.1339 | 0.8598 | 0.3408 |\n",
    "| zi |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |\n",
    "| xi |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |"
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  },
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   "source": [
    "2. Utilizando as amostras de números aleatórios, gerar amostras com n=10 observações para as distribuições Equiprovável (a) e Bernoulli (b). Para cada amostra, calcule a média e o desvio padrão e compare com os valores esperados. A partir da Bernoulli, explique como gerar amostras da Binomial (c) e Binomial Negativa (d)."
   ]
  },
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   "source": [
    "a) Equiprovável, x=1,2,...,6 (dado)"
   ]
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    "| i  | 1      | 2      | 3      | 4      | 5      | 6      | 7      | 8      | 9      | 10     |\n",
    "|----|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n",
    "| ui | 0.7191 | 0.1433 | 0.1027 | 0.1129 | 0.1926 | 0.7625 | 0.2886 | 0.7603 | 0.0556 | 0.4600 |\n",
    "| xi |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |"
   ]
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   "source": [
    "b) Bernoulli, p=0,4 (cara e coroa)"
   ]
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   "source": [
    "| i  | 1      | 2      | 3      | 4      | 5      | 6      | 7      | 8      | 9      | 10     |\n",
    "|----|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n",
    "| ui | 0.2945 | 0.7954 | 0.5492 | 0.8735 | 0.5960 | 0.4397 | 0.9124 | 0.4167 | 0.2595 | 0.4985 |\n",
    "| xi |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |   -    |"
   ]
  },
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    "c) Explique como seria a geração de uma amostra de tamanho m=20 para uma Binomial, com n=10 e p=0,4"
   ]
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    "d) Idem, para Binomial Negativa, com r=2 e p=0,4"
   ]
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  },
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   "source": [
    "3. Utilizando funções da biblioteca numpy.random, gerar amostras com n=1000 observações das distribuições abaixo. Para cada amostra, calcular a média e o desvio padrão e elaborar o histograma da distribuição de frequências."
   ]
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   "source": [
    "a) Uniforme, com valor mínimo 0,5, valor máximo 1,5 e semente 100."
   ]
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   "source": [
    "| <div style=\"width:120px\">Classe</div> | Freq |\n",
    "|---------------------|------|\n",
    "| $ 0,5 \\le x < 0,7 $ |  -   |\n",
    "| $ 0,7 \\le x < 0,9 $ |  -   |\n",
    "| $ 0,9 \\le x < 1,1 $ |  -   |\n",
    "| $ 1,1 \\le x < 1,3 $ |  -   |\n",
    "| $ 1,3 \\le x < 1,5 $ |  -   |\n",
    "|           -         | 1000 |"
   ]
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    "**Solução**"
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    "a=0.5\n",
    "b=1.5\n",
    "np.random.seed(100)\n",
    "amostra=np.random.uniform(a,b,1000)\n",
    "print('%6.4f %6.4f' %(np.mean(amostra),np.std(amostra,ddof=1)))"
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    "xbins=[0.5+0.2*i for i in range(6)]\n",
    "np.histogram(amostra,bins=xbins)"
   ]
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    "import matplotlib.pyplot as plt"
   ]
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    "plt.hist(amostra, bins=xbins, edgecolor='black')\n",
    "plt.show()"
   ]
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    "b) Exponencial, com média 2,0 e semente 200."
   ]
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    "| Classe | -  | Freq |\n",
    "|--------|----|------|\n",
    "| 0      | 2  |  -   |\n",
    "| 2      | 4  |  -   |\n",
    "| 4      | 6  |  -   |\n",
    "| 6      | 8  |  -   |\n",
    "| 8      | 10 |  -   |\n",
    "| 10     | 12 |  -   |\n",
    "|   -    |  - | 1000 |"
   ]
  },
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   "source": []
  },
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   "source": [
    "c) Triangular, com a=0, b=2, c=5 e semente 300."
   ]
  },
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   "source": [
    "| Classe | - | Freq |\n",
    "|--------|---|------|\n",
    "| 0      | 1 | -    |\n",
    "| 1      | 2 | -    |\n",
    "| 2      | 3 | -    |\n",
    "| 3      | 4 | -    |\n",
    "| 4      | 5 | -    |\n",
    "| -      | - | 1000 |"
   ]
  },
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   "source": []
  },
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   "source": [
    "d) Normal, com média 1,0, desvio-padrão 0,2 e semente 400."
   ]
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   "source": [
    "| Classe | -   | Freq |\n",
    "|--------|-----|------|\n",
    "| 0,2    | 0,4 | -    |\n",
    "| 0,4    | 0,6 | -    |\n",
    "| 0,6    | 0,8 | -    |\n",
    "| 0,8    | 1,0 | -    |\n",
    "| 1,0    | 1,2 | -    |\n",
    "| 1,2    | 1,4 | -    |\n",
    "| 1,4    | 1,6 | -    |\n",
    "| 1,6    | 1,8 | -    |\n",
    "| -      | -   | 1000 |"
   ]
  },
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   "source": []
  },
  {
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   "source": [
    "4. Proponha um procedimento para gerar amostras aleatórias de variáveis Poisson, considerando a relação entre a distribuição Poisson e a Exponencial. Implemente o procedimento proposto em Python e, com código implantado, gere uma amostra n=1000 observações de uma Poisson com média 3,0. Calcule a média e o desvio padrão da amostra e compare com os valores esperados. Elabore um histograma da distribuição de frequências na amostra."
   ]
  },
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   "source": []
  },
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   "source": [
    "5. Estime a probabilidade das variáveis Y abaixo definidas superarem o valor 5, utilizando o método de Monte Carlo, com n = 10.000 repetições:\n",
    "\n",
    "a) Y = soma de 4 v.a.i. Normais com média 1,0 e desvio-padrão 0,25\n",
    "\n",
    "b) Y = soma de 4 v.a.i. Uniformes com valor mínimo 0,5 e valor máximo = 1,5\n",
    "\n",
    "c) Y = soma de 4 v.a.i. Exponenciais com média 1,0\n",
    "\n",
    "d) Y = soma dos quadrados de 4 v.a.i. Normais-Padrão\n"
   ]
  },
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   "source": []
  },
  {
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   "source": [
    "6. Utilizando funções da biblioteca numpy.random, gerar amostras com n=1000 e semente 500, de uma distribuição lognormal com média 10,0 e desvio-padrão 1,0. A seguir, calcule a média e o desvio padrão da amostra e compare com os valores esperados. Elabore um histograma da distribuição de frequências. Dica: para usar o gerador, é necessário fazer uma transformação nos parâmetros média e desvio-padrão."
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "| Classe | -  | Freq |\n",
    "|--------|----|------|\n",
    "| 5      | 6  | -    |\n",
    "| 6      | 7  | -    |\n",
    "| 7      | 8  | -    |\n",
    "| 8      | 9  | -    |\n",
    "| 9      | 10 | -    |\n",
    "| 10     | 11 | -    |\n",
    "| 11     | 12 | -    |\n",
    "| 12     | 13 | -    |\n",
    "| 13     | 14 | -    |\n",
    "| 14     | 15 | -    |\n",
    "| -      | -  | 1000 |"
   ]
  },
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   "source": []
  },
  {
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   "source": [
    "7. Utilizando a amostra de números aleatórios abaixo, verifique quais seriam os valores gerados pelo método da aceitação/rejeição para uma variável aleatória X com f(x) = x/2 para 0≤x≤2 e 0, caso contrário. Calcule a média e o desvio-padrão da amostra gerada."
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "| i     | 1      | 2      | 3      | 4      | 5      | 6      | 7      | 8      | 9      | 10     |\n",
    "|-------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n",
    "| u1i   | 0.6977 | 0.4582 | 0.8241 | 0.7818 | 0.0692 | 0.5727 | 0.5689 | 0.2010 | 0.6246 | 0.1973 |\n",
    "| u2i   | 0.6113 | 0.9770 | 0.6883 | 0.2572 | 0.6654 | 0.8394 | 0.8684 | 0.2780 | 0.6451 | 0.2631 |\n",
    "| xi    | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      |\n",
    "| yi    | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      |\n",
    "| f(xi) | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      |\n",
    "| A/R   | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      | -      |"
   ]
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  },
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   "source": [
    "8. Os dados abaixo são uma amostra dos tempos de uma operação. Estime a média e o desvio-padrão da amostra. A seguir, verifique qual das seguintes distribuições melhor se ajusta aos dados: normal, lognormal, uniforme ou exponencial."
   ]
  },
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    "|  1   |  2   |  3   |  4   |  5   |  6   |  7   |  8   |  9   | 10   | \n",
    "|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|\n",
    "| 8.8  | 10.1 | 10.5 | 10.4 | 8.2  | 9.4  | 9.7  | 12.6 | 10.7 | 9.0  |\n",
    "| 10.1 | 10.1 | 11.0 | 8.6  | 10.3 | 9.8  | 10.1 | 9.1  | 9.5  | 11.2 |\n",
    "| 10.6 | 9.0  | 7.9  | 9.4  | 9.4  | 11.2 | 7.6  | 9.7  | 10.9 | 9.2  |\n",
    "| 9.9  | 10.5 | 8.7  | 8.6  | 10.7 | 9.6  | 9.7  | 9.4  | 10.9 | 11.2 |\n",
    "| 9.7  | 9.3  | 9.1  | 10.8 | 10.1 | 9.6  | 10.8 | 10.1 | 9.5  | 9.1  |"
   ]
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  },
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   "source": [
    "9. Dois dados são lançados. Se no primeiro lançamento sair soma 7 ou 11, o jogador ganha. Se sair 2, 3 ou 12, o jogador perde. Para qualquer outro resultado, o jogador continua jogando até obter a soma da primeira jogada, neste caso ele ganhar, ou sair soma 7, neste caso ele perde. Qual é a probabilidade de vitória?"
   ]
  },
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  },
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   "source": [
    "10. Um lojista adquire um produto, que é comprado ao custo c=\\\\$5 e vendido ao preço p=\\\\$10. A demanda apresenta distribuição uniforme entre 80 e 140. Considerando que todo produto não vendido é perdido, determine, pelo método de Monte Carlo, qual seria o lote de compra Q = 80, 85, ..., 140 que maximizaria o resultado do lojista."
   ]
  },
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  },
  {
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   "source": [
    "11. Um investidor pretende investir inicialmente \\\\$10.000 e, nos próximos n=4 períodos \\\\$1000. Determine o valor futuro ao final do quinto período, considerando que a taxa de juros em cada período seja uma variável aleatória com distribuição triangular simétrica entre 5 e 7%."
   ]
  },
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  },
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   "source": [
    "12. Em uma rede PERT, as atividades têm uma duração aleatória e uma atividade só inicia quando a atividade precedente (se houver) estiver concluída. Considere a seguinte rede de atividades de um projeto, com tempos de duração normal."
   ]
  },
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    "| Atividade | Precedentes | Duração | -    |\n",
    "|-----------|-------------|---------|------|\n",
    "| -         | -           | Média   | D.P. |\n",
    "| 1         | -           | 6       | 0,6  |\n",
    "| 2         | -           | 9       | 0,9  |\n",
    "| 3         | 1           | 8       | 0,8  |\n",
    "| 4         | 1, 2        | 5       | 0,5  |\n",
    "| 5         | 4           | 3       | 0,3  |\n",
    "| 6         | 3, 5        | 12      | 1,2  |"
   ]
  },
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   "source": [
    "Utilizando a simulação de Monte Carlo, determine a média e o desvio-padrão do tempo de conclusão do projeto."
   ]
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