y1 = 1
y1' = 0

y1' + y1 = 0+1 = 1

y = 1 + a e^{-t}
y' = - a e^{-t}

y' + y = 1

------------------------

As soluções de y' + y = 1 estão definidas para t em R

-----------------------

y = tan t  tem como um intervalor de continuidade
(-pi/2, pi/2)

sen²x + cos²x = 1

sen²x + cos²x =   1
-----   -----   -----
cos²x   cos²x   cos²x

tan²x + 1 = sec²x = tan'x

tan'x - tan²x = 1

Entao vê-se que y(t) = tan t é solução da EDO

y' - y² = 1

que tem intervalo de definição de solução (-pi/2, pi/2)

========================

Lei de Malthus: y' = ky → linear

y' - ky = 0


y' + y = 1 é linear

y' - y² = 1 não é linear
 

-------------------------
  m a = - k x

	a = - x

 x'' = -x

x(t) = k cos(t) + l sen(t)

--------------------------------

MUV -> aceleração é constante

 massa x aceleração = resultante

Queda livre desprezando a resistência do ar

(pode ser plano inclinado sem atrito e sem resistência do ar)
 
Duas equações

slide 13

v' = a      é uma EDO!! (EDO simples)

Se eu resolver, determino a função incógnita "velocidade" 

condição inicial: v(0) = v_0

solução: v(t) = v_0 + a t

slide 14 

x' = v(t) = v_0 + at      é uma EDO!! (EDO simples)

Se eu resolver, determino a função incógnita "posição" 

x(t) = x_0 + v_0 t + a t²/2

-------------------

v' + v = 1  =>  solução precisa de método

v' = 1      => basta integrar
v(t) = t + C

==========================================

PROBLEMA

Um tanque contém 5.000 litros de água na qual estão diluı́dos 50 Kg de sal. A essa mistura adiciona-se salmoura à razão de 10 l/min com uma concentração de sal de 20 g/l. A concentração da mistura é mantida
homogênea por meio de um agitador (isto é, a concentração de sal é a mesma em todos os pontos do tanque). A mistura (homogênea) deixa o tanque à razão de 10 l/min. Determinar a quantidade de sal e a
concentração de sal num instante t.

====================

Quantidade de sal que ENTRA no tanque

Q(t) = quantidade de sal no instante t

ENTRA por minuto

10l a 20 g/l => entra 200 g por minuto = 200 g/min

SAI por minuto

Concentração atual: c = Q/5000

10l a c=Q/5000 g/l => sai 10 Q/5000 = Q/500 g/min

==================

Sendo suscinto:

(por um momento pense que só entra sal
Q = 200 t  => Q' = 200 )

Q' = TAXA_DE_ENTRADA - TAXA_DE_SAÍDA 

Q' = 200 - Q/500 

É a EDO linear de 1ª ordem não homogênea

Condição inicial: ...na qual estão diluı́dos 50 Kg de sal

Q(0) = 50000 g

--- PVI:

Q' = 200 - Q/500 
Q(0) = 50000 g

==================
Sendo mais prolixo...

Q(t) = quantidade de sal

Numa janelinha de Delta t = Dt minutos
(Delta t pequeno -> podemos supor que a concentração é constante nesse pequeno intervalo de tempo)

ENTRA 200g/min  => ENTRA 200·Dt
SAI Q/500 g/min => SAI Q/500·Dt

DQ = 200·Dt - Q/500·Dt = (200 - Q/500)Dt

DQ
-- = 200 - Q/500
Dt

Passando o limite Dt -> 0

Q' = 200 - Q/500

                     f(x)-f(x0)
f'(x)  = lim_{x->x0} ----------
                        x - x0

                     Df
f'(x)  = lim_{x->x0} --
                     Dx

                       Q(t) - Q(t1)
Q'(t1) = lim_{t -> t1} ------------
                           t - t1

Estando no instante t1, e passado Dt, chegamos ao instante t = t1 + Dt
Dt = t-t1

Dt -> 0 é equivalente a t -> t1

Estando no instante t1, e passado Dt minutos, a quantidade de sal varia Q(t) - Q(t1) = DQ