Há situações em que…

Métodos de simulação estocástica

Com estrutura básica dada por:

Gerador congruencial: Dado um número inicial \(Y_0 \in \{0, 1, \ldots, m-1\}\), definimos a sequência de números por \[Y_{i}=(aY_{i-1} + b) \quad \mbox{mod}\quad m, \quad i=1,2,\ldots\]

Sejam \(m=10\), \(a=103\), \(b=17\) e \(Y_0=2\). Utilizando o gerador congruencial, pede-se:

• Escrever um algoritmo simples para gerar números pseudo-aleatórios no intervalo entre 0 e 1.

• Utilizar o algoritmo para escrever um script na linguagem R.

• Criar a função denominada gc para gerar os números pseudo-aleatórios.

Um bom gerador de números pseudo-aleatórios possui as seguintes características:

Definição: A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória \(Y\) é definida por

Propriedades da função de distribuição acumulada \(F\)

• \(\lim\limits_{y\rightarrow -\infty}F(y) = \quad \quad \quad \quad \quad \quad \lim\limits_{y\rightarrow \infty} F(y) =\)

• \(F\) é

• \(F\) é

Método da transformação inversa:

• \(Y\)

• \(F^{-1}\)

• \(U \sim\)

Então,

Variável aleatória discreta: assume somente um número

A função de probabiliade de uma variável aleatória \(Y\), denotada por \(f(y)=P(Y=y)\) em um espaço de probabilidades satisfaz

Fórmula recursiva:

Certas probabilidades podem ser expressas na forma recursiva a partir de

Para gerar variáveis aleatórias discretas pelo método da transformação inversa:

• Definir
  

• Gerar
  

• Enquanto \(U>F_y\)

calcular

atualizar \(Fy\):

incrementar \(k\):

• Declarar
  

Sejam \(Y_1, \ldots, Y_m\) proveniente de uma população com distribuição binomial com parâmetros \(n\) e \(p\). Considerando o método da transformação inversa, pede-se:

• definir a função de probabilidade.

• determinar a forma recursiva.

• escrever um algoritmo simples gerar valores aleatórios.

• utilizando o algoritmo, escrever um script na linguagem R.

• criar uma função chamada random_bin.

Sejam \(Y_1, \ldots, Y_n\) proveniente de uma população com distribuição Poissoncom parâmetro \(\lambda\). Considerando o método da transformação inversa, fazer os mesmos exercícios pedidos para distribuição binomial.

Variável aleatória contínua: se existir uma função \(f\) não negativa tal que

A função de densidade de uma variável aleatória \(Y\), denotada por \(f(y)\) em um espaço de probabilidades satisfaz

• Gerar
  
  
  

• Declarar

Sejam \(Y_1, \ldots, Y_n\) uma amostra aleatória provenientes de uma população com distribuição exponencial com parâmetro de escala \(\lambda\). Utilizando o método da transformação inversa, pede-se:

• definir a função densidade de probabilidade

• escrever um algoritmo simples para gerar os valores aleatórios

• seguindo o algoritmo fazer um script na linguagem R

• criar uma função denominada random_exp para gerar os valores aleatórios.

Sejam \(Y_1, \ldots, Y_n\) uma amostra aleatória provenientes de uma população com distribuição Weibull com parâmetro de escala \(\lambda\) e forma \(\alpha\). Repetir os mesmos exercícios da distribuição exponencial.