ACH3657 - Aula 04 - Estimação dos parâmetros

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Exemplo 1

O arquivo wage1.RData contém dados de 526 indivíduos para o ano de 1976. As variáveis incluem salário e escolaridade.

load(file.path(dir.dados, "wage1.RData"))

Inspecionando o conjunto de dados:

desc.wage1

##    variable                           label
## 1      wage         average hourly earnings
## 2      educ              years of education
## 3     exper      years potential experience
## 4    tenure     years with current employer
## 5  nonwhite                  =1 if nonwhite
## 6    female                    =1 if female
## 7   married                   =1 if married
## 8    numdep            number of dependents
## 9      smsa              =1 if live in SMSA
## 10 northcen =1 if live in north central U.S
## 11    south   =1 if live in southern region
## 12     west    =1 if live in western region
## 13 construc  =1 if work in construc. indus.
## 14  ndurman  =1 if in nondur. manuf. indus.
## 15 trcommpu  =1 if in trans, commun, pub ut
## 16    trade    =1 if in wholesale or retail
## 17 services        =1 if in services indus.
## 18 profserv     =1 if in prof. serv. indus.
## 19  profocc    =1 if in profess. occupation
## 20  clerocc    =1 if in clerical occupation
## 21  servocc     =1 if in service occupation
## 22    lwage                       log(wage)
## 23  expersq                         exper^2
## 24  tenursq                        tenure^2

str(dados.wage1)

## 'data.frame':    526 obs. of  24 variables:
##  $ wage    : num  3.1 3.24 3 6 5.3 ...
##  $ educ    : int  11 12 11 8 12 16 18 12 12 17 ...
##  $ exper   : int  2 22 2 44 7 9 15 5 26 22 ...
##  $ tenure  : int  0 2 0 28 2 8 7 3 4 21 ...
##  $ nonwhite: int  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ female  : int  1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 ...
##  $ married : int  0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 ...
##  $ numdep  : int  2 3 2 0 1 0 0 0 2 0 ...
##  $ smsa    : int  1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ...
##  $ northcen: int  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ south   : int  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ west    : int  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
##  $ construc: int  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ ndurman : int  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ trcommpu: int  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ trade   : int  0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ...
##  $ services: int  0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ profserv: int  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ...
##  $ profocc : int  0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ...
##  $ clerocc : int  0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ servocc : int  0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ lwage   : num  1.13 1.18 1.1 1.79 1.67 ...
##  $ expersq : int  4 484 4 1936 49 81 225 25 676 484 ...
##  $ tenursq : int  0 4 0 784 4 64 49 9 16 441 ...
##  - attr(*, "datalabel")= chr ""
##  - attr(*, "time.stamp")= chr "25 Jun 2011 23:03"
##  - attr(*, "formats")= chr  "%8.2g" "%8.0g" "%8.0g" "%8.0g" ...
##  - attr(*, "types")= int  254 251 251 251 251 251 251 251 251 251 ...
##  - attr(*, "val.labels")= chr  "" "" "" "" ...
##  - attr(*, "var.labels")= chr  "average hourly earnings" "years of education" "years potential experience" "years with current employer" ...
##  - attr(*, "version")= int 10

Obs. Visualize melhor os data frames no RStudio com:

View(desc.wage1)
View(dados.wage1)

a) Vamos ajustar no R um modelo de regressão linear simples para a relação entre salário e escolaridade e comentar os resultados.

Queremos estimar o modelo:

\[wage = \beta_0 + \beta_1 educ + u\]

modelo.1 <- lm(wage ~educ, data = dados.wage1)
summary(modelo.1)

## 
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ, data = dados.wage1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.3396 -2.1501 -0.9674  1.1921 16.6085 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -0.90485    0.68497  -1.321    0.187    
## educ         0.54136    0.05325  10.167   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.378 on 524 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1648, Adjusted R-squared:  0.1632 
## F-statistic: 103.4 on 1 and 524 DF,  p-value: < 2.2e-16

O modelo estimado portanto é:

\[\hat{wage} = -0.90485 + 0.54136 educ\]

Observe que os coeficientes podem ser acessados diretamente através de:

modelo.1$coefficients

## (Intercept)        educ 
##  -0.9048516   0.5413593

b) Usando a reta de regressão estimada, vamos calcular os valores previstos \(\hat{y}_i\) e os resíduos \(\hat{u}_i\).

A função fitted mostra os valores ajustados para os \(y_i\):

y.chapeu <- fitted(modelo.1)
head(y.chapeu)

##        1        2        3        4        5        6 
## 5.050100 5.591459 5.050100 3.426022 5.591459 7.756896

View(cbind(dados.wage1$wage, y.chapeu))

Outra maneira é diretamente através de:

head(modelo.1$fitted.values)

##        1        2        3        4        5        6 
## 5.050100 5.591459 5.050100 3.426022 5.591459 7.756896

u.chapeu <- residuals(modelo.1)
head(u.chapeu)

##          1          2          3          4          5          6 
## -1.9501003 -2.3514594 -2.0501002  2.5739776 -0.2914593  0.9931035

View(cbind(dados.wage1$wage, y.chapeu, u.chapeu))

c) Calcular a variância amostral dos valores observados de wage (\(y_i\)).

var(dados.wage1$wage)

## [1] 13.63888

d) Qual o valor de \(\text{SQT}\), \(\text{SQE}\) e \(\text{SQR}\)?

Essas quantidades são geradas pelo ajuste do modelo, e podem ser acessadas através da tabela de Análise de Variância:

anova(modelo.1)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: wage
##            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## educ        1 1179.7 1179.73  103.36 < 2.2e-16 ***
## Residuals 524 5980.7   11.41                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Os valores são reportados em Sum Sq (Sum of Squares):

\(\text{SQE} = 1179.7\)
\(\text{SQR} = 5980.7\)

Como

\[\text{SQT} = \text{SQE} + \text{SQR}\] Devemos ter \[\text{SQT} = 1179.7 + 5980.7 = 7160.4\]

e) Identifique o valor de \(R^2\) na saída do modelo e comente.

O \(R^2\) é reportado pelo nome Multiple R-squared.

\[R^2 = 0.1648\] Que também pode ser obtido através de:

\[R^2 = \frac{\text{SQE}}{\text{SQT}} = \frac{1179.7}{7160.4} = 0.1648\]

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Exercício 1.

Utilize os dados em wage2.RData para estimar uma regressão simples que explique o salário mensal (salário) em termos do escore do QI (QI).

Carregando os dados:

load(file.path(dir.dados, "wage2.RData"))

a) Ache o salário médio e o QI médio da amostra. Qual é o desvio-padrão de QI? (Os escores do QI são padronizados, de modo que a média é 100, na população, com um desvio-padrão igual a 15).

b) Estime um modelo de regressão simples em que um aumento de um ponto em QI faça com que salário varie em uma quantidade constante em dólar. Use esse modelo para achar o aumento predito no salário a partir de um aumento de 15 pontos em QI. O QI explica muito da variação em salário?

O modelo procurado é:

\[ wage = \beta_0 + \beta_1 IQ + u\]

modelo.2 <- lm(wage ~ IQ, data = dados.wage2)
summary(modelo.2)

## 
## Call:
## lm(formula = wage ~ IQ, data = dados.wage2)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -898.7 -256.5  -47.3  201.1 2072.6 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 116.9916    85.6415   1.366    0.172    
## IQ            8.3031     0.8364   9.927   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 384.8 on 933 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.09554,    Adjusted R-squared:  0.09457 
## F-statistic: 98.55 on 1 and 933 DF,  p-value: < 2.2e-16

O coeficiente associado a \(IQ\) é \(\hat{\beta_1} = 8.3031\). Logo, para cada unidade adicional de \(IQ\) o aumento previsto no salário é de 8,3031. A variação esperada em \(wage\) em função de \(IQ\) é dada por:

\[\Delta \hat{y} = \hat{\beta_1} \Delta x\] Observando que nesse caso \(\Delta x = 15\), resulta:

\[\Delta \hat{y} = 8,3031 \times 15 = 124,5465\]

c) Agora, estime um modelo em que cada aumento de um ponto em QI tenha o mesmo efeito percentual sobre salário.

Nesse caso, devemos ajustar o seguinte modelo:

\[ \log(wage) = \beta_0 + \beta_1 IQ + u\]

modelo.3 <- lm(lwage ~ IQ, data = dados.wage2)
summary(modelo.3)

## 
## Call:
## lm(formula = lwage ~ IQ, data = dados.wage2)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.09324 -0.25547  0.02261  0.27544  1.21487 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 5.8869944  0.0890206   66.13   <2e-16 ***
## IQ          0.0088072  0.0008694   10.13   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.3999 on 933 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.09909,    Adjusted R-squared:  0.09813 
## F-statistic: 102.6 on 1 and 933 DF,  p-value: < 2.2e-16

Se QI aumenta em 15 pontos, qual é o aumento percentual aproximado no salário predito?

Nesse caso, a interpretação do coeficiente de inclinação pode ser estabelecida pela seguinte relação:

\[\%\Delta y = (100 \cdot \hat{\beta}_1) \Delta x\] Um aumento de \(IQ\) em 15 pontos corresponde ao seguinte aumento percentual em \(y\):

\[\%\Delta y = (100 \cdot 0,0088) \times 15 = 13,2\]

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Exercício 2.

Utilize os dados do arquivo vote1.RData, relativos a Resultados Eleitorais e Gastos de Campanha.

load(file.path(dir.dados, "vote1.RData"))

a) Ajuste um modelo de regressão simples para explicar a proporção de votos de um candidato em função da sua participação nos gastos de campanha.

\[ voteA = \beta_0 + \beta_1 shareA + u\]

modelo.4 <- lm(voteA ~ shareA, data = dados.vote1)
summary(modelo.4)

## 
## Call:
## lm(formula = voteA ~ shareA, data = dados.vote1)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -16.8919  -4.0660  -0.1682   3.4965  29.9772 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 26.81221    0.88721   30.22   <2e-16 ***
## shareA       0.46383    0.01454   31.90   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.385 on 171 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8561, Adjusted R-squared:  0.8553 
## F-statistic:  1018 on 1 and 171 DF,  p-value: < 2.2e-16

b) Encontre o \(R^2\) da reta de regressão ajustada e o interprete.

A saída do modelo registra: “Multiple R-squared: 0.8561”, o que indica que 85,61% da variabilidade da votação percentual de um candidato é explicada pela sua participação nos gastos de campanha.

ACH3657 - Aula 04 - Estimação dos parâmetros

Alexandre Ribeiro Leichsenring

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Exemplo 1

a) Vamos ajustar no R um modelo de regressão linear simples para a relação entre salário e escolaridade e comentar os resultados.

b) Usando a reta de regressão estimada, vamos calcular os valores previstos \(\hat{y}_i\) e os resíduos \(\hat{u}_i\).

c) Calcular a variância amostral dos valores observados de wage (\(y_i\)).

d) Qual o valor de \(\text{SQT}\), \(\text{SQE}\) e \(\text{SQR}\)?

e) Identifique o valor de \(R^2\) na saída do modelo e comente.

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Exercício 1.

Utilize os dados em wage2.RData para estimar uma regressão simples que explique o salário mensal (salário) em termos do escore do QI (QI).

a) Ache o salário médio e o QI médio da amostra. Qual é o desvio-padrão de QI? (Os escores do QI são padronizados, de modo que a média é 100, na população, com um desvio-padrão igual a 15).

b) Estime um modelo de regressão simples em que um aumento de um ponto em QI faça com que salário varie em uma quantidade constante em dólar. Use esse modelo para achar o aumento predito no salário a partir de um aumento de 15 pontos em QI. O QI explica muito da variação em salário?

c) Agora, estime um modelo em que cada aumento de um ponto em QI tenha o mesmo efeito percentual sobre salário.

Se QI aumenta em 15 pontos, qual é o aumento percentual aproximado no salário predito?

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Exercício 2.

Utilize os dados do arquivo vote1.RData, relativos a Resultados Eleitorais e Gastos de Campanha.

a) Ajuste um modelo de regressão simples para explicar a proporção de votos de um candidato em função da sua participação nos gastos de campanha.

b) Encontre o \(R^2\) da reta de regressão ajustada e o interprete.