%$ Exemplos de aplicações do teorema 3.13 (Proprieadades/2017)

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%% Sistema do Pendulo linearizado (lista 1-03) em torno do ponto de equilíbrio xe=0 

% Valor dos parametros do sistema
global m b L g u 
m=0.1; b=0.015; L=0.2; g=9.81; u=0;

% Matriz linearizada do sistema em torno de xe=[0  0]
A1=[0 1;(-g/L) -(b/(m*L^2))];
eig(A1);

%% Tomando Q como a identidade

% % Tomando uma Q>0 simétrica
 R=[1 0;2 1];
% 
% % Encontrando a matriz P pela função lyap
% X1=lyap(A1,R);
% % Tomando novos valores para P
% 
% P1=inv(X1);
% disp('Matriz P1=')
% disp(P1)
% 
% eig(P1);
% 
% Q1=P1*R*P1;
% disp('Matriz Q1=')
% disp(Q1)




%% Contraexemplo

% Matriz A2 não estável 
A2=[j 0;0 -j];

XC=lyap(A2,R);

PC=inv(XC);
disp('Contraexemplo: matriz PC obtida tem autovalores negativos')
disp(PC)

lambda2=eig(PC);
disp('Autovalore de PC')
disp(lambda2)

%% Utilizando o Yalmip 

% nA=size(A1,2); % Definindo a dimensão de A1 
% X1 = sdpvar(nA,nA);
% Restr = [X1>0];
% Restr=[Restr A1'*X1+X1*A1<0];
% % Configurando o YALMIP para usar o solver LMILAB.
% opts=sdpsettings;
% opts.solver='lmilab';
% opts.verbose=0;
% sol = solvesdp(Restr,[],opts);
% 
% che=min(checkset(Restr));
%     if che > 0
%     disp('O sistema pode ser controlado')
%     P2 = double(X1)
%     Autovalor_AN = [];
%         else
%         disp('o sistema não pode ser controlado')
%     end
% 
% Q2=A1'*P2+P2*A1;
% disp('Matriz Q2 obtida pelo Yalmip')
% disp(Q2)