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######################### Monitoria 06 de Econometria I ####################################
############################# Data: 24/10/2018 #############################################
#################### Curso: Matemática Aplicada a Negócios #################################
########################## Monitora: Laura Ogando ##########################################
######################## e-mail: lauraogando@usp.br ########################################
#################### Professor: Luiz Guilherme Scorzafave ##################################
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# Limpando as variáveis que estão no environment
rm(list = ls())

# Trabalhando com regressões múltiplas a partir de matrizes
# Vamos utilizar a base de dados do R chamada mtcars
data(mtcars)
# Analisando as primeiras 6 linhas da base
head(mtcars)

# Queremos calcular os parâmetros estimados de um modelo
# Suponha que você esteja interessadx em estudar o que influencia a eficiência de consu-
# mo de um carro, isto é, quantos km um carro consegue rodar por 1 litro de gasolina.
# Você está desconfiadx de que a potência do carro e o peso deste influenciem a eficiên-
# cia do carro. Portanto, você decide montar um modelo.
# Antes de mais nada, queremos ter uma impressão do que esperar
plot(mtcars$wt, mtcars$mpg)
plot(mtcars$hp, mtcars$mpg)

# Vamos definir o nosso y como sendo a variável mpg da base de dados mtcars
y <- mtcars$mpg

# A nossa regressão terá duas variáveis independentes
# Lembrando que quando trabalhamos com matrizes, a primeira coluna
# da matriz deve ser composta de 1 quando o nosso modelo possui intercepto
# Criando a matriz x:
x <- cbind(1, mtcars$wt, mtcars$hp)
head(x)

# Sabemos que o beta matricial é dado por (X'X)^(-1)(X'Y)
# Calculando isso na mão, temos:
solve(t(x)%*% x) %*% t(x) %*%y
# O comando solve inverte a matriz
# O comando t() transpõe a matriz 
# %*% é o operador de multiplicação matricial

# Podemos verificar se o resultado está correto ao utilizar
# o comando lm e verificando se os resultados sao iguais.
coef(lm(mpg ~ wt + hp, data = mtcars))

# Note que é exatamente o mesmo resultado

# Entendendo um pouco melhor o papel da constante no modelo
# Note que se fizermos uma regressão sem nenhuma variável independente, teremos
# a média de y
# Calculando a média de y
mean(y)

# Fazendo a regressão sem nenhuma variável independente
coef(lm(y~1))
# Os valores são iguais

# Suponha agora que o interesse esteja em realizar uma regressão pela origem, isto é, 
# sem intercepto
# Para tanto, você roda o mesmo comando da regressão, mas insere um -1 na especificação
# do modelo. O R entende esse -1 como modelo sem intercepto.
coef(lm(mpg ~ wt + hp - 1, data = mtcars))