Sexta Lista de Exercícios de MAP0151
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**Questão 1** Faça quatro iterações do método de Newton para calcular os
zeros das seguintes funções:

1) $f(x) = x^6 -x-1$
2) $f(x) = \cos(3x) -x$

**Questão 2** Use o desenvolvimento de Taylor, até o polinômio de Taylor de
ordem 4, para avaliar o valor das funções $f(x)$ e $g(x)$ no ponto $3,5$, onde

1) $f(x) = \sin(x) -x$
2) $g(x) = 2\text{e}^{-x^2}$

**Questão 3** Dê um exemplo de uma função $\Phi$ definida num intervalo 
$[-1,1]$, cuja derivada $\Phi^\prime(x)$ tem módulo menor que $1$ neste 
intervalo, mas $\Phi(0)$ não está no intervalo.

**Questão 4** Calcular $\sqrt[3]{5}$ com erro inferior a $0.001$ usando o método de Newton.

**Questão 5** Que valor positivo de $x$ torna $y = \frac{\tan{x}}{x^2}$ mínimo?

**Questão 6** Qual é o desenvolvimento em série de Taylor do $\log(x)$ em torno do $1$? Avalie $\log(2)$ usando o desenvolvimento até a segunda ordem e analise o erro máximo cometido. ($\log(x)$ é o logaritmo neperiano!).

**Questão 7** Considere a fórmula de recorrência:

$$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{g(x_n)} $$
onde $g(x) = [f(x+f(x))-f(x)]/f(x)$

Mostre que se esta sequência convergir, converge para um zero de $f$.

**Questão 8** Mostre que a iteração do método de Newton diverge para qualquer valor inicial $x_0 \in \mathbb{R}$.

1. $f(x) = x^2 +1$
2. $f(x) = 7x^4 + 3x^2 + \pi$