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\begin{document}
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 {  \sf  Lista de exercícios de MAP0151 \hfill \fbox{2-2012}}
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\thispagestyle{empty}

\textit{ Esta lista é o primeiro (de dois) trabalho teórico e deverá ser entregue no dia 24 de abril para ser avaliado. }

\quest Num sistema linear 
\begin{gather*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\end{gather*}
a) Como se escreve o sistema na forma matricial.

b) Qual é a condição, necessária e suficiente, sobre os coeficientes $a_{ij}$ para que o sistema tenha uma única solução para todos os números reais $b_i$.

c) Dê um exemplo de um sistema, onde as condições acimas não estão satisfeitas
e o sistema não tenha nenhuma solução, e um exemplo com infinitas soluções.

d) No caso em que a condição do ítem (b) esteja satisfeita, quantas multiplicações são necessárias para se resolver o sistema pelo método de Cramer.

e) Generalize o ítem d) para o caso de sistemas lineares $n\times n$.

f) A troca de linhas na equação é uma operação elementar que não altera o conjunto solução do sistema. Compare a forma matricial do sistema original com a forma matricial do sistema com a segunda e terceira linha trocadas. Mostre que se definimos a matriz $E$ como a matriz identidade com a segunda e terceira linha trocadas, e multiplicarmos à esquerda por $E$ a equação matricial original. Obtemos
a forma matricial do sistema com as linhas trocadas.

g) Generalize para as outras operações elementares: multiplicar uma linha por
um número diferente de zero, e substituir uma linha por esta linha mais o múltiplo de uma outra linha.  

\quest Resolva o sistema linear abaixo usando aritmética de ponto flutuante com mantissa de dois dígitos. 
\begin{gather*} 0.01 x + 1.7 y + 2.1z  = 15 \\
   9y - 2.3 z = 2.1 \\
  3z = 1\end{gather*}
Compare com a solução real.

\quest Resolva usando o método da eliminação de Gauss (com e sem pivotamento),
e com dois algarísmos significativos.
\[
\begin{pmatrix}
  -0.1 & 1 & -0.3 \\
2 & 0.5 & -6 \\
0.5 & 10 & 1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  x \\ y \\ z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
  10 \\ 0 \\ 9
\end{pmatrix}\]

 \end{document}

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