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     "source": [
      "# Terceira Lista de exerc\u00edcios:\n",
      "\n",
      "1. A opera\u00e7\u00e3o elementar $E_{uv,\\alpha}$ \u00e9 definida como a substitui\u00e7\u00e3o da linha $u$ pela soma da linha $u$ com $\\alpha$ vezes a linha $v$. Esta opera\u00e7\u00e3o na matriz de coeficientes $A$ tamb\u00e9m pode ser obtida pela multiplica\u00e7\u00e3o de uma matriz $E$, \u00e0 esquerda, pela matriz $A$. Diga qual \u00e9 a matriz $E=(e_{ij})$.\n",
      "\n",
      "2. Uma matriz quadrada $L = (l_{ij})$ \u00e9 *triangular inferior* se $l_{ij}=0$ quando $i\\lt j$ e $l_{ii}=1$. No exerc\u00edcio 1, qual deve ser a rela\u00e7\u00e3o entre $u$ e $v$ de $E_{uv,\\alpha}$ para que a matriz que representa esta opera\u00e7\u00e3o seja triangular inferior. Qual \u00e9 a inversa da matriz neste caso?  \n",
      "\n",
      "3. Mostre ou d\u00ea contra-exemplo das afirma\u00e7\u00f5es. O produto de duas matrizes quadradas triangular inferior \u00e9 uma matriz quadrada triangular inferior. A inversa de uma matriz triangular inferior \u00e9 triangular inferior."
     ]
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     "source": [
      "Dizemos que uma matriz $A$ admite uma decomposi\u00e7\u00e3o LU se existe uma matriz triangular inferior $L$ e uma matriz triangular superior $U$ (escalonada), tal que $A = LU$. Uma condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria e suficiente para que\n",
      "uma matriz admita uma decomposi\u00e7\u00e3o LU \u00e9 que $\\det(A_k)\\neq 0$ para todo $k\\in \\{1,\\dots,n\\}$ onde $A_k = (a_{ij})_{i\\leq k,j\\leq k}$. O m\u00e9todo da elimina\u00e7\u00e3o de Gauss, quando realizado sem pivota\u00e7\u00e3o, d\u00e1 uma maneira de encontrar a decomposi\u00e7\u00e3o $LU$ da matriz $A$. \u00c9 isso que voc\u00eas devem usar para fazer o programa abaixo"
     ]
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     "input": [
      "# Complete esta c\u00e9lula para definir a fun\u00e7\u00e3o\n",
      "import numpy as np\n",
      "def DecompLU(A):\n",
      "    ''' Esta fun\u00e7\u00e3o devolve um par de matrizes L,U da decomposi\u00e7\u00e3o LU de A se for poss\u00edvel, e devolve a matriz \n",
      "    A e matriz nula se n\u00e3o tiver decomposi\u00e7\u00e3o LU '''\n",
      "    pass\n"
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