INSTITITUTO DE FíSICA DA USP
FGE0211 - Física III (turma Web)
1^o semestre de 2009

Cálculo da energia potencial eletrostática de uma esfera uniformemente carregada, com carga Q e raio R.
(apêndice à 05S.F)

A energia potencial eletrostática de um conjunto de cargas é armazenada no sistema através do trabalho, realizado por agente externo, necessário para juntar as cargas na sua configuração atual. Essa idéia-definição da energia potencial supõe a escolha arbitrária de um referencial, isto é de uma configuração das cargas a partir da qual se calcula o trabalho.
Muitas vezes se utiliza, como referência, a configuração em que todas as cargas estão absolutamente dispersas - extremamente afastadas, cada uma das demais -, de forma que a interação entre elas, medida por exemplo pela força eletrostática seja nula. Esta passa a ser, por convenção, a configuração de energia potencial eletrostática nula.

Pode-se trazer cada uma das cargas para a posição que ocupará e o trabalho τ_i para trazer a i-ésima carga, quando já estão i-1 cargas ocupando suas posições atuais, deve ser somado para todas as cargas do sistema..
Pode-se também trazer do infinito as cargas mantendo a simetria que ocuparão.

A soma de todas as contribuições à energia potencial nesse processo é chamada de auto-energia do sistema e é a energia dispendida para formar o sistema. Ela fica armazenada no sistema carregado e é liberada quando o sistema se desfaz...

E se pode, por fim, integrar a densidade de energia elétrica em todo o espaço.

Energia potencial,
calculando-se o trabalho para trazer as cargas do infinito

Para se construir este sistema de cargas, não basta mover elementos de carga do infinito até a esfera. É necessário colocar as cargas em camadas, desde o centro da esfera até o raio R, com o cuidado de manter em cada camada, a quantidade correta de carga, consistente com a densidade uniforme de carga.
Em alguma etapa intermediária do processo, já se tem um raio r (0<r<R) e a carga dessa esfera já formada é

e o campo elétrico externo a esta esfera é

O elemento de carga dq que recobre a esfera de raio r e densidade ρ_o é expresso por

.

E o trabalho para trazer dq do infinito até r,

.

A energia eletrostática da esfera é portanto

.

Energia potencial,
integrando-se, em todo o espaço, a densidade de energia elétrica.

O campo elétrico desta distribuição de carga é

Utilizando a simetria esférica , toma-se o elemento de volume dV = 4πr².dr e a quantidade de enegia em uma camada esférica de raio r e espessura dr é

Assim a energia potencial eletrostática desse sistema é, fazendo-se u =r/R,

Exatamente o mesmo resultado do calculado anteriormente.

JOSé LUCIANO MIRANDA DUARTE
10mai2009

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