Função Geratriz. 17/10/2013, Vito R. Vanin

Geratrizes das funções mais comuns

Binomial

PDF[BinomialDistribution[m,p],n]

GeneratingFunction[PDF[BinomialDistribution[m,p],n],n,t]

Poisson

PDF[PoissonDistribution[a],n]

GeneratingFunction[PDF[PoissonDistribution[a],n],n,t]

Propriedades elementares

Probabilidade para i=0

GeneratingFunction[PDF[PoissonDistribution[a],n],n,0]

normalização

GeneratingFunction[PDF[PoissonDistribution[a],n],n,1]

recuperando a probabilidade para um i qualquer

prob[i_]:=Module[{t},1/i! 
D[GeneratingFunction[PDF[PoissonDistribution[a],n],n,t],{t,i}]/.t->0]

prob[4]

Aplicação à soma de numeros aleatórios - simulação

Número de termos constante

Table[Total[RandomVariate[BernoulliDistribution[0.1],100]],{10}]

sn[p_,n_]:=Total[RandomVariate[BernoulliDistribution[p],n]]

simulsn=Table[sn[0.1,100],{100000}];

hsn=Histogram[simulsn]

{Mean[simulsn],StandardDeviation[simulsn]}//N

Sqrt[100 0.1 0.9] (* modelo binomial para a f.p. *)

Número de termos aleatório

simulsnaleat=Table[sn[0.1,RandomVariate[PoissonDistribution[100]]],{100000}];

{Mean[simulsnaleat],StandardDeviation[simulsnaleat]}//N

Sqrt[100 0.1] (* modelo Poisson para a f.p. *)

hsnaleat=Histogram[simulsnaleat]

Histogram[{simulsn,simulsnaleat}]

Histogram[{simulsn,simulsnaleat},PlotRange->{0,1000}]

as diferenças entre soma com número de termos fixo e aleatório crescem com a probabilidade do evento

simulsn2=Table[sn[0.5,100],{10000}];

Histogram[simulsn2]

{Mean[simulsn2],StandardDeviation[simulsn2]}//N

Sqrt[100 0.5 0.5]

simulsnaleat2=Table[sn[0.5,RandomVariate[PoissonDistribution[100]]],{10000}];

{Mean[simulsnaleat2],StandardDeviation[simulsnaleat2]}//N

Histogram[simulsnaleat2]

Histogram[{simulsn2,simulsnaleat2}]

Histogram[{simulsn2,simulsnaleat2},PlotRange->{0,200}]