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\newcommand{\quest}{\stepcounter{questao}{\bf \arabic{questao}.\ }}

\begin{document}
\hrule
 {  \sf  Primeira prova de MAP2321 \hfill \fbox{N1-2013}}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\thispagestyle{empty}

\quest Calcular $\text{e}^{tA}$ onde A é a matriz dada:
\begin{gather*}
  A=
  \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2
  \end{pmatrix}
\end{gather*}

\quest Resolver o seguinte sistema linear
\begin{gather*}
  \begin{pmatrix}
    \dot{x} \\ \dot{y}
  \end{pmatrix}=
  \begin{pmatrix}
    -2 & 1 \\ 0 & -2
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    x \\ y 
  \end{pmatrix}+
  \begin{pmatrix}
    t \\ -1
  \end{pmatrix}
\end{gather*}
com
\begin{gather*}
  \begin{pmatrix}
    x(0) \\ y(0)
  \end{pmatrix}=
  \begin{pmatrix}
    1 \\ 0
  \end{pmatrix}
\end{gather*}

\quest Verificar se é controlável e se é observável o sistema linear com as
matrizes de parâmetros $(A,B,C)$ dadas por
\begin{gather*}
  A=
  \begin{pmatrix}
    2 & 1& 1\\
1 & 1 & 1 \\
-1 & -1 & 0 
  \end{pmatrix}, \text{ } B=
  \begin{pmatrix}
    -1 \\ 1 \\ 1
  \end{pmatrix}\text{ e } C =
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0
  \end{pmatrix}
\end{gather*}

\quest Achar a matriz de Hurwitz e dizer se o seguinte polinômio é estável:
\begin{gather*}
  p(\lambda) = \lambda^4 + 10\lambda^3 + 2\lambda^2 + 6\lambda +4
\end{gather*}

\quest Suponha que a matriz de controlabilidade de um sistema, $Q_T=\int_0^T\exp(sA)BB^*  \exp(sA^*)ds$, seja inversível. Mostre que para cada $x\in \mathbb{R}^n$, existe um controle admissível, $u_x$, tal que o estado $x$ é atingido em tempo $T$ a apartir da origem. 

\quest Dadas as matrizes $A$ e $B$ abaixo, encontre uma matriz $K =
\begin{pmatrix}
  k_1 & k_2
\end{pmatrix}
$, de tal forma que para todo $x\in \mathbb{R}^2$ valha:
\begin{gather}
  || \exp(t(A+BK))x|| \leq M \text{e}^{-3t}||x||\text{  } \forall(t>0)
\end{gather}
onde
\begin{gather*}
  A=
  \begin{pmatrix}
    0 & 1 \\ 1 & -2
  \end{pmatrix}\text{ e } B=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ 1
  \end{pmatrix}
\end{gather*}

\end{document}

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%%% TeX-master: t
%%% End: 
