Tarefa 1

FÍSICA GERAL I - PROVA (03/04/24)

Considere os vetores $ \vec{A} = \hat{i}+\hat{j}$ e $ \vec{B} =\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$, descritos numa base ortonormal formada pelos versores $(\hat{i},\hat{j},\hat{k})$, nesta ordem.

1. Calcule as componentes do vetor $ \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}. $

Resolução:

Para calcular o produto vetorial $ \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} $, você pode usar a seguinte teorema:

$ \vec{C} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{matrix} \right| $

Onde $ A_x, A_y, A_z $ são as componentes de $ \vec{A} $ e $ B_x, B_y, B_z $ são as componentes de $ \vec{B} $.

Dado que $ \vec{A} = \hat{i}+\hat{j} $ e $ \vec{B} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} $, podemos escrever as componentes dos vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $ como:

$ \vec{A} = (1, 1, 0) $

$ \vec{B} = (1, -1, 1) $

Agora, podemos calcular o produto vetorial:

$ \vec{C} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1\end{matrix} \right|$

$ \vec{C} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} $

Portanto, as componentes do vetor $ \vec{C} $ são $ (1, -1, -2) $.

2. Calcule os módulos dos vetores $ \vec{A}, \vec{B}$ e $ \vec{C} . $

Resolução:

Para calcular o módulo de um vetor, podemos usar a definição do módulo de um vetor tridimensional, onde $V_x, V_y, V_z$ são as componentes do vetor $\vec{V}$:

$ |\vec{V}| = \sqrt{\vec{V}\cdot\vec{V}} = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2} $

Para os vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$ dados, temos:

$ \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} = (1, 1, 0) $

$ \vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} = (1, -1, 1) $

Agora, calculamos os módulos:

1. Para o vetor $ \vec{A} $:

$ |\vec{A}| =\sqrt{\vec{A}\cdot\vec{A}} = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (0)^2} = \sqrt{2} $

2. Para o vetor $ \vec{B} $:

$ |\vec{B}| =\sqrt{\vec{B}\cdot\vec{B}} = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{3} $

Para o vetor $\vec{C}$, que foi calculado no exercício anterior como $ \vec{C} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} $, podemos calcular seu módulo da seguinte maneira:

$ |\vec{C}| =\sqrt{\vec{C}\cdot\vec{C}} = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} $

Portanto, os módulos dos vetores $ \vec{A}$, $ \vec{B} $ e $ \vec{C} $ são $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $ e $ \sqrt{6} $, respectivamente.

3. Calcule o produto escalar entre os vetores $ \vec{A}$ e $\vec{B}$.

Resolução:

O produto escalar numa base ortonormal entre dois vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $, denotado por $ \vec{A} \cdot \vec{B} $, é dado pela soma dos produtos de suas componentes correspondentes.

Ou seja, se $ \vec{A} = (A_x, A_y, A_z) $ e $ \vec{B} = (B_x, B_y, B_z) $, então o produto escalar entre $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $ é:

$ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z $

Dado que $ \vec{A} = \hat{i}+\hat{j} $ e $ \vec{B} =\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$, podemos escrever suas componentes como:

$ \vec{A} = (1, 1, 0) $

$ \vec{B} = (1, -1, 1) $

Agora, calculamos o produto escalar:

$ \vec{A} \cdot \vec{B} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot -1) + (0 \cdot 1) $

$ = 1 - 1 + 0 $

$ = 0 $

Portanto, o produto escalar entre os vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $ é 0.

4. Calcule o ângulo θ entre os vetores $ \vec{A}$ e $\vec{B}$ de duas forma(distintas). Pode expressar os resultados em termos do cosseno e do seno.

Verifique a consistência destas duas respostas.

Resolução:

Para encontrar o ângulo $ \theta $ entre os vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $, podemos usar a definição do produto escalar:

$ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta) $

Dado que $ \vec{A} = \hat{i}+\hat{j} $ e $ \vec{B} = \hat{</span><span style="font-style:inherit;">i}-\hat{j}+\hat{k} $, podemos usar os módulos que calculamos anteriormente:

$ |\vec{A}| = \sqrt{2} $

$ |\vec{B}| = \sqrt{3} $

E também, o produto escalar $ \vec{A} \cdot \vec{B} $ que calculamos anteriormente:

$ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 $

Portanto,

$ 0 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\theta) $

$ \cos(\theta) = 0 $

Da trigonometria, sabemos que $ \cos(\theta) = 0 $ quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $ ou $ \theta = \frac{3\pi}{2} $.

Então, o ângulo entre os vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $ é $ \theta = \frac{\pi}{2} $ ou $ \theta = \frac{3\pi}{2} $.

Agora, para verificar a consistência, podemos usar a relação entre o produto escalar e o produto vetorial

para encontrar o ângulo $ \theta $ entre $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $.

Sabemos que:

$ |\vec{C}| = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot |\sin(\theta)| $

E temos:

$ |\vec{A}| = \sqrt{2} $

$ |\vec{B}| = \sqrt{3} $

$ |\vec{C}| = \sqrt{6} $

Substituindo estes valores, obtemos:

$ \sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot |\sin(\theta)| $

Simplificando, obtemos:

$ 1 = |\sin(\theta)| $

Como $ |\sin(\theta)| = 1 $, isso significa que $ \sin(\theta) = \pm 1 $.

Portanto, o ângulo $ \theta $ entre $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $ pode ser $ \frac{\pi}{2} $ ou $ \frac{3\pi}{2} $.

Portanto, $ \sin(\theta) = \pm 1 $ implica que $ \theta = \frac{\pi}{2} $ ou $ \theta = \frac{3\pi}{2} $, confirmando a consistência das duas abordagens.

5. Calcule (i) a área do paralelogramo formado pelos vetores $ \vec{A}$ e $\vec{B}$ de, e (ii) o volume do paralelepípedo formado pelos vetores$ \vec{A}, \vec{B}$ e $ \vec{C} $. Use os resultados anteriores. Justifique seus procedimentos.

Resolução:

(i)Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $, usamos o módulo do produto vetorial desses vetores.

A área $ A_p $ de um paralelogramo formado por dois vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $ é dada por:

$ A_p = |\vec{A} \times \vec{B}| $

Já calculamos o produto vetorial $ \vec{A} \times \vec{B} $ anteriormente e encontramos $ \vec{C} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} $.

Então, o módulo desse vetor é $ |\vec{C}| = \sqrt{6} $.

Portanto, a área do paralelogramo é $ A_p = \sqrt{6} $.

Para calcular o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $ \vec{A} $, $ \vec{B} $, e $ \vec{C} $ usando produto misto, podemos montar uma matriz tridimensional com os vetores como linhas e calcular o determinante dessa matriz. O volume do paralelepípedo($V_p$) é igual ao valor absoluto desse produto misto.

$V_p=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$

Dado que $ \vec{A} = \hat{i}+\hat{j} $, $ \vec{B} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} $, e $ \vec{C} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} $, podemos montar a matriz da seguinte forma:

$ V_p= \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \end{matrix} \right| $

Agora, podemos calcular o determinante desta matriz. Então obtemos:

$ V_p=6 $

Portanto, o volume do paralelepípedo é $ 6 $.

Portanto, a área do paralelogramo formado por $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $ é $ \sqrt{6} $ e o volume do paralelepípedo formado por $ \vec{A} $, $ \vec{B} $ e $ \vec{C} $ é $ 6 $.

Tarefa 1

FÍSICA GERAL I - PROVA (03/04/24)

Considere os vetores \( \vec{A} = \hat{i}+\hat{j}\) e \( \vec{B} =\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\), descritos numa base ortonormal formada pelos versores \((\hat{i},\hat{j},\hat{k})\), nesta ordem.

1. Calcule as componentes do vetor \( \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}. \)

2. Calcule os módulos dos vetores \( \vec{A}, \vec{B}\) e \( \vec{C} . \)

3. Calcule o produto escalar entre os vetores \( \vec{A}\) e \(\vec{B}\).

4. Calcule o ângulo θ entre os vetores \( \vec{A}\) e \(\vec{B}\) de duas forma(distintas). Pode expressar os resultados em termos do cosseno e do seno.

Verifique a consistência destas duas respostas.

5. Calcule (i) a área do paralelogramo formado pelos vetores \( \vec{A}\) e \(\vec{B}\) de, e (ii) o volume do paralelepípedo formado pelos vetores\( \vec{A}, \vec{B}\) e \( \vec{C} \). Use os resultados anteriores. Justifique seus procedimentos.