{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Uma Simulação Simples e o Problema de Monty Hall\n",
    "### Nelson Kuhl - IME/USP"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": 1,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt # o mínimo\n",
    "import scipy.stats as st # Há várias ferramentas estatísticas no Python. O módulo stats do scipy integra bem com o\n",
    "                         # numpy"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Exemplo de Simulação com Inteiros\n",
    "O objeto *randint* do módulo scipy.stats é usado para a distribuição uniforme discreta. Aqui usaremos apenas o *método* rvs, que sorteia valores identicamente distribuidos entre um conjunto discreto de pontos: dados naturais $i$ e $j$ com $i < j-1$ e um inteiro positivo $n$, o comando <blockquote>\n",
    "$$\n",
    "scipy.stats.randint.rvs(i, j, size=n)\n",
    "$$</blockquote>\n",
    "gera $n$ números distribuidos uniformemente no conjunto $\\{i, i+1,\\dots,j-1\\}$. Faremos um teste simples para verificar a distribuição uniforme."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[0.321 0.336 0.343]\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "n = 1000 # Tamanho da amostra\n",
    "rs = st.randint.rvs(1, 4, size=n) # n sorteios de números uniformemente distribuidos no conjunto {1, 2, 3}\n",
    "y = np.array([sum(rs==1), sum(rs==2), sum(rs==3)])/n # array contendo a frequência dos resultados de cada valor\n",
    "print(y)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "image/png": "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      "text/plain": [
       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "# Gráfico\n",
    "\n",
    "x = np.array([1, 2, 3]) # abscissas. As ordenadas estão em y\n",
    "plt.plot(x, y, 'ro', label=\"frequências\")\n",
    "plt.vlines(x, 0, y, color='r', linestyles='-')\n",
    "plt.ylim(0,1)\n",
    "xx = np.arange(0, 4, 0.01); yy = np.ones(np.size(xx))/3 # Para a ver a linha 1/3 na figura.\n",
    "plt.plot(xx, yy, '--k', label=\"1/3\")                  # Deve haver maneira melhor\n",
    "plt.legend();"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## O Problema de Monty Hall\n",
    "Vamos relembrar o enunciado. Em um programa de auditório, há três portas fechadas, sendo que uma delas contém um prêmio e nas outras duas há duas cabras. O apresentador pede para o participante escolher uma porta. Após a escolha, o apresentador abre uma porta contendo uma cabra e pergunta ao participante se ele quer trocar de porta.\n",
    "\n",
    "Simularemos aqui a situação na qual o participante sempre troca de porta para estimar a probabilidade de ganhar o prêmio. A ideia é ignorar solução discutida em aula e resolver o problema usando força bruta. Não é elegante, mas funciona.\n",
    "\n",
    "Note que se o participante escolher a porta que tem o prêmio, o apresentador pode abrir qualquer uma das outras portas e, ao mudar de porta, o participante obterá uma cabra. Caso a escolha inicial tenha sido uma porta contendo uma cabra, só há uma escolha para o apresentador abrir e, ao mudar a porta, o participante ganha o prêmio.\n",
    "\n",
    "As portas serão numeradas por 1, 2 e 3. Para a simulação, usaremos um vetor $p$ no qual a componente a componente $p_i$ armazena o número da porta contendo o prêmio no $i$-ésimo desafio, e um vetor $x$ cuja componente $x_i$ contém a escolha do participante no $i$-ésimo desafio. O prêmio é ganho de $x_i \\ne p_i$. Os valores de $x$ serão sorteados entre os números 1, 2 e 3 com mesma probabilidade. Os valores de $p$ podem ser atribuídos arbitrariamente. Usaremos também a distribuição uniforme entre os valores 1, 2 e 3, mas você pode testar outras maneiras."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "A probabilidade de ganhar o prêmio é estimada por 0.66539\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "n = 100000 # número de sorteios (modifique se quiser)\n",
    "p = st.randint.rvs(1, 4, size=n) # sorteio da porta que contém o prêmio\n",
    "x = st.randint.rvs(1, 4, size=n) # escolha inicial do participante\n",
    "ganhou = x != p # vetor Booleano armazenando o resultado do desafio\n",
    "prob_ganhar = sum(ganhou)/n # frequência de ganho\n",
    "print(\"A probabilidade de ganhar o prêmio é estimada por %.5f\" % prob_ganhar)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Observações\n",
    "\n",
    "- Se executarmos a célula acima várias vêzes com o mesmo valor de $n$, obteremos resultados diferentes, mas próximos. Há uma **margem de erro** para o resultado, e veremos adiante como estimá-la.\n",
    "- A simulação acima parece fácil e é. Podemos aproximar a solução do problema sem pensar muito, deixando o trabalho braçal para o computador. Porém as hipóteses ficam mascaradas"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.6.9"
  }
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