X =
[   |   |   ]
[   |   |   ]
[x1 |...|xn ]
[   |   |   ]
[   |   |   ]

Propriedade de matrizes
A[a|b|c] =[Aa|Ab|Ac]

AX =
[   |   |   ]
[   |   |   ]
[Ax1|...|Axn]
[   |   |   ]
[   |   |   ]


X' =
[   |   |   ]
[   |   |   ]
[x1'|...|xn']
[   |   |   ]
[   |   |   ]

Fórmula de Euler
e^{iθ} = cosθ + i senθ

e^{αt + iβt}
= e^{αt}e^{iβt}
= e^{αt}(cosβt + i senβt)

e^{αt + iβt}( u + iw )
= e^{αt}(cosβt + i senβt) ( u + iw )
= e^{αt}[    ( cosβt u - senβt w )
			      + i ( cosβt w + senβt u )

= e^{αt}( cosβt u - senβt w )
			      + i e^{αt} ( cosβt w + senβt u )

-2 (1+i) = -2 -2i

(2-2i)(1+i) = (2+2) + i(2-2) = 4

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Teorema:
Se um polinômio de coeficientes inteiros tiver uma raiz racional, essa raiz é inteira e divide o termo constante.

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Exemplo de resolução de SNH, com Variação dos parâmetros

Exemplo 6.13 do Ladeira, p.178


y' = A y + g(t)

A =          g(t) =  e^(-t) [ 0 ]
 1  2                       [ 6 ]
-1  4


1º passo: resolver a homogênea associada

y' = A y

A =
 1  2
-1  4

------------
Buscando soluções da forma y = e^{λt}v : (A-λI)v = 0

A-λI =
1-λ  2
-1  4-λ

det(A-λI) = (1-λ)(4-λ)+2 = λ² - 5λ + 6 
λ=2  e  λ=3

Buscando autovetores
para λ=2

-1  2 | 0
-1  2 | 0
~
-1  2 | 0  -a + 2b = 0 ==> a=2b
 0  0 | 0
v1 = (2b  b)' =(b=1)=> v1 =(2 1)'

y1 = e^(2t)(2 1)'

Para λ=3

-2  2 | 0
-1  1 | 0
~
-1  1 | 0  -a + b = 0 ==> a=b
 0  0 | 0 

v2 = (1  1)'

y3 = e^(3t)(1  1)'

-------------------

Matriz fundamental

    [ 2e^(2t)   e^(3t) ]
Y = [  e^(2t)   e^(3t) ]

2º passo: encontrar solução particular da forma yp = Y u
==> Y u' = g

Sistema: Y u' = g

2e^(2t)   e^(3t) |   0
 e^(2t)   e^(3t) | 6 e^(-t)
~
1   e^t | 6 e^(-3t)
0  -e^t |-12 e^(-3t)
~
1   0 | -6 e^(-3t)
0   1 | 12 e^(-4t)

u'=
-6 e^(-3t)
12 e^(-4t)

u=
2 e^(-3t)
-3 e^(-4t)

Solução geral:

y = Y (u + c)
=
[ 2e^(2t)   e^(3t) ] [ 2 e^(-3t) + c1  ]
[  e^(2t)   e^(3t) ] [ -3 e^(-4t) + c2 ]

yp = Y u

[ 2e^(2t)   e^(3t) ] [  2 e^(-3t) ] 
[  e^(2t)   e^(3t) ] [ -3 e^(-4t) ]
=
[e^(-t)]
[-e^(-t)]
= 
e^(-t)[ 1 ]
      [-1 ]

fim do exemplo com variação dos parâmetros

Método dos coeficientes a determinar

y' = A y + g(t)

A =          g(t) =  e^(-t) [ 0 ]
 1  2                       [ 6 ]
-1  4

(os autovalores foram 2 e 3)

É razoável esperar que a solução particular seja da forma 
yp = e^(-t) w

z = (0 6)'

Substituindo:

yp' = -e^(-t) w

Ayp + e^(-t)z = A e^(-t) w + e^(-t) z

Igualdando, cortando as exponenciais

-w = A w + z  => A w + w = -z => 
(A+I) w = -z <- resolve, acha w

 2  2 | 0
-1  5 | -6
~
 1  0 |  1
 0  1 | -1

w = (1 -1)'

yp = e^(-t) (1  -1)'


Solução geral

y = Y c + e^(-t) (1  -1)'