e^{iθ} é o ponto do plano complexo que:

1) tem módulo 1
2) tem ângulo θ com o eixo real positivo
(sentido anti-horário)


e^{iθ} = cos θ + i sen θ


e^{i pi} = -1

e^{i pi/2} = i

e^{0i} = 1

e^{i pi/3} = cos pi/3 + i sen pi/3
           = 1/2 + i sqrt(3)/2

===========================================

caso λ = p +- iq   (caso λ complexo)

TEORIA PASSO A PASSO

e^{λt} = função complexa !!!

       = ( parte real )   + i ( parte imaginária )
       = (exp(pt)cos(qt)) + i (exp(pt)sen(qt))

Se função complexa é solução,
* sua parte real é UMA solução real -> y1 = exp(pt)cos(qt)
* sua parte imaginária é OUTRA solução real
                                    -> y2 = exp(pt)sen(qt)

Da aula anterior (slide 13) vimos que essas funções y1 e y2 são LI

Solução geral: y = c1 y1 + c2 y2

O QUE É FUNDAMENTAL SABER:
* y = e^{λt} é solução complexa
* escrever y = y1 + i y2
  (decompõe em parte real e parte imaginária)
* y1 e y2 são soluções reais LI
* solução geral é y = c1 y1 + c2 y2.

OUTRO RESUMO
* λ = p + iq
* y1 = exp(pt)cos(qt)
* y2 = exp(pt)sen(qt)
* solução geral é y = c1 y1 + c2 y2.


λ² + 1 = 0

y'' + y = 0

=======================================

SOLUÇÃO GERAL DA NÃO HOMOGÊNEA              y
  =                                         =
SOLUÇÃO GERAL DA HOMOGÊNEA             c1 y1 + c2 y2
  +                                         +
UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA NÃO HOMOGÊNEA    y_p

  y = c1 y1 + c2 y2 + y_p

=====================================
Ainda não vimos métodos para encontrar a solução particular, mas há casos em que essa solução particular é perceptível.

Exemplo: y'' + y = t

(note que y = t, um polinômio de 1º grau, y''=0,
 => y''+y = y = t)

PASSO 1) Resolver a homogênea associada: y'' + y = 0

Equação característica: λ² + 1 = 0 => λ² = -1 => λ = +- i
(caso complexo)

Escolhemos λ = i = 0 + 1i

y1 = e^{0t}cos 1t = cos t
y2 = sen t

Solução da homogênea associada: y_h = c1 cos t + c2 sen t

PASSO 2) Encontre uma solução particular

y_p = t

PASSO 3) Solução geral:
  y = c1 cos t + c2 sen t  +  t

Agora que aprendemos, vamos calcular essa solução yp=t

=========================
Exemplo do Mátodo da Variação dos Parâmetros

a)
yp
= u1 y1 + u2 y2
= u1 cos t + u2 sen t

b) montamos o sistema com a matriz do Wronskiano

[ cos t   sen t ] [ u1' ] = [ 0 ]
[-sen t   cos t ] [ u2' ]   [ t ]

c) resolver o sistema, e achar u1', u2'

 cos t   sen t | 0 
-sen t   cos t | t 
~
 1       sen t/cos t | 0 
-sen t   cos t       | t 
~
 1       sen t/cos t          | 0 
 0   (cos² t + sen² t)/cos t  | t 
~
 1       tan t    | 0 
 0        1/cos t | t 
~
 1       tan t | 0 
 0        1    | t cos t 
~
 1   0 | - t sen t 
 0   1 | t cos t 

u1' = -t sen t
u2' = t cos t

u1 = int u1' = t cos t - sen t
u2 = int u2' = t sen t + cos t

f = t sen t + cos t
f'= sent + t cos t - sen t = t cos t

g = t cos t - sen t
g' = cos t - t sen t - cos t = -t sen t

---------------

yp = u1 y1 + u2 y2
= (t cos t - sen t) cost + (t sen t + cos t)sen t
= t(cos² t + sen² t) - sent cos t + sen t cos t
= t

ganhei!!!!

(a b)^-1 = 1/(det) * ( d  -b )
(c d)                ( -c  a ) 


[ cos t   sen t ] [ u1' ] = [ 0 ]
[-sen t   cos t ] [ u2' ]   [ t ]

u1' = [cos t  -sen t] [0] = [-t sen t]
u2'   [sent    cos t] [t]   [t cos t ]