A = 
1  2  -1
0 -1   0
0  0  -2

A - λI =
1-λ  2   -1
0  -1-λ   0
0   0   -2-λ

equação característica: det(A-λI) = 0
(1-λ)(-1-λ)(-2-λ) = 0
As raízes são 1, -1, -2

Autovetores: v<>0 tal que (A-λI)v = 0

v = (a b c)'

Para λ=1
0  2   -1 | 0
0  -2   0 | 0
0   0  -3 | 0
~
0  0  0 | 0 -> 0=0
0  1  0 | 0  -> b = 0 
0  0  1 | 0  -> c = 0

v1 = (a 0 0)' = a (1 0 0)'

Para λ=-1

2  2 -1 | 0
0  0  0 | 0
0  0 -1 | 0
~
1  1  0 | 0  -> a+b = 0 => b = -a
0  0  0 | 0
0  0  1 | 0  -> c = 0

v2 = (a -a 0)' = a (1 -1 0)'

Para λ=-2

3  2  -1 | 0
0  1  0  | 0
0  0  0  | 0
~
3  0  -1 | 0 => 3a - c = 0 => c=3a
0  1  0  | 0 => b = 0
0  0  0  | 0

v3 = (a 0 3a)' = a(1 0 3)'

Tomamos a=1 em todos os casos e temos 3 autovetores LI

P =
1  1  1
0 -1  0
0  0  3

Letra C: autovalores 2, i, -i
=> só um autovetor LI real
=> 3 autovetores complexos LI

Em R³ não é diagonalizável
Em C³ é diagonalizável

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v = x'

Resultante: R = 1g - v = g - x'

2ª Lei de newton: x'' = g - x' 

x'' + x' + 0x= g  (EDO de 2ª ordem linear
                   de coeficientes constantes
                   NÃO homogênea)

(Segredo: como essa EDO não é completa, a substituição
v = x' , v' =x''  a torna uma EDO de 1ª ordem
  v' + v = g )

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SLIDE DO WRONSKIANO

TEOREMA: 1) Se exite algum t0 tal que W(t0) <> 0, então as soluções são LI.

2) (Não vale a volta, ou seja, pode haver FUNÇÕES LI que tenham Wrnskiano nulo)

 Exemplo:
f1(x)=x²     f2(x)= x|x|
f1'=2x       f2' = 2|x|

W(t) = det ( f1   f2  ) = 2x²|x| - 2x²|x| = 0
           ( f1'  f2' )

3) se f1 e f2 são SOLUÇÕES DE UMA EDO DE 2ª ORDEM, então vale a volta:
LI <==> W(t) <> 0 para algum t <==> W(t)<>0 para TODO t

(a conclusão é que as funçĩes do item 2 não são soluções de nenhuma EDO em R)


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Exemplo: Resolver a EDO

y'' - 3y' + 2y = 0

Tentar soluções da forma y = e^{λt} 
 <=> λ é raiz da Equação característica

          λ² - 3λ + 2 = 0

S = 3, P = 2 -> raízes λ1 = 1, λ2 = 2 SÃO DISTINTAS!!

Temos duas soluções y1 = e^t,  y2 = e^{2t}

São LI (sempre qu λ1 <> λ2)

Solução geral:

 y = c1 e^t  + c2 e^{2t}

Se tivéssemos um PVI, montaríamos um sistema que encontra as constantes arbitrárias c1 e c2