Propriedades do conjunt de soluções de uma EDO
de 2ª ordem homogênea

 ay'' + by' + cy = 0          (LH)

- o conjunto de soluções S é espaço vetorial
- dimensão de S é 2
  (porque há dois graus de liberdade para as soluções)
  (Teorema de Existência e Unicidade) 

  S = [y1,y2]

	onde y1 e y2 são duas soluções LI

   y(t) = c1 y1 + c2 y2

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Veremos também métodos para encontrar essas soluções LI

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 ay'' + by' + cy = 0          (LH)

S o conjunto de soluções de (LH)

S contido no espaço vetorial das funções reais (f: R->R)

Basta mostrar que S é subespaço

1) 0 (função nula) pertence a S

y=0 => y'=0 => y''=0 
y=0 é solução

2) soma de elementos de S está em S
(slide 9) 

3) múltiplo de elementos de S está em S
(slide 10) 

=> S é espaço vetorial!!!

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Exemplo de soluções LI

y'' - 3y' + 2y = 0   (slide 19)

tem soluções y1=e^t  e  y2=e^{2t}

Vamos verificar que estas soluções são LI

(na verdade, vamos verificar que duas exponenciais com constantes distintas são LI)

y1 = e^{at},     y2 = e^{bt}     a<>b

y1 = a e^{at},   y2 = b e^{bt}

t0 = 0
y1(0) = 1,  y1'(0) = a
y2(0) = 1,  y2'(0) = b

    [ 1   1 ]
det [ a   b ] = b - a <> 0

então as soluções y1 e y2 são LI

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y1 = e^{at},     y2 = t e^{at}
y1' = a e^{at},  y2 = (1 + at) e^{at}

y1(0) = 1, y1'(0) = a
y2(0) = 0, y2'(0) = 1

    [ 1   0 ]
det [ a   1 ] = 1 <> 0

estas funções são LI

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y'' - y' - 2y = 0       y(0) = 0    y'(0) = 2

1) Equação característica

 λ² - λ - 2 = 0

S = 1, P = -2

λ1 = -1,  λ2 = 2

2) solução geral

y(t) = c1 e^{-t} + c2 e^{2t}

3) Como temos PVI, precisamos encontrar c1 e c2

y(t) = c1 e^{-t} + c2 e^{2t}
y'(t) = -c1 e^{-t} + 2c2 e^{2t}

y(0) =   c1 +  c2 = 0
y'(0) = -c1 + 2c2 = 2

Temos um sistema linear nas variáveis c1 e c2

[  1  1 | 0 ]
[ -1  2 | 2 ]
~
[ 1  1 | 0 ]
[ 0  3 | 2 ]
~
[ 1  0 | -2/3 ]
[ 0  1 | 2/3  ]

c1 = -2/3
c2 = 2/3

y(t) = -2/3 e^{-t} + 2/3 e^{2t}


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y'' - 2a y' + a² y = 0

Equação característica:

λ² - 2a λ + a² = 0
(λ - a)² = 0

λ = a é a única raiz

y1 = e^{at} é, por enquanto, a única solução que obtivemos

veremos que a segunda solução é da forma 
y2 = t e^{at}


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Exemplo: sistema massa-mola com resistência do meio

(veja slide 3)

mx'' + b x' + k x = 0

m = 1 kg

x'' + b x' + k x = 0

∆ = b² - 4k >= 0   ==>  b >= 2 sqrt(k)

b = 5 (constante de "aerodinâmica")
k = 4 (constante de restituição da mola)

∆ = 9

A EDO fica

x'' + 5 x' + 4 x = 0

λ1 = (-5-3)/2 = -8/2 = -4
λ2 = (-5+3)/2 = -1

x = c1 e^{-4t} + c2 e^{-t}

Vamos supor que esticamos a mola 0,2 m e soltamos a mola do repouso
x(0) = 0,2
x'(0) = 0

x' = -4c1 e^{-4t} - c2 e^{-t}

x(0) =    c1 + c2 = 0,2
x'(0) = -4c1 - c2 = 0

Somando as equações
-3c1 = 0,2 = 2/10  => c1 = -2/30

Pela 1ª equação c2 = 0,2 - c1 = 6/30 + 2/30 = 8/30

A solução do PVI é

x = -2/30 e^{-4t} + 8/30 e^{-t}