Motivação:

sistemas LINEARES homogêneos

A x = b  sistema linear não homogêneo

A x = 0  sistema linear homogêneo

(x1 e x2 soluções do homogêneo)

A x1 = 0   
A x2 = 0

somando

0 = A x1 + A x_2 = A (x1+x2)

x1+x2 também é solução

A (kx1) = k (Ax1) = k 0 = 0

múltiplo de solução é solução

==> o conjunto das soluções do sistema HOMOGÊNEO é espaço vetorial (é o núcleo)

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x1(0) = 1, x1'(0) = 0
x2(0) = 0, x2'(0) = 1

se queremos resolver o PVI (LH) e
x(0) = c, x'(0) = d


[ 1  0 ] v = [c]
[ 0  1 ]     [d]


v = [c]
    [d]

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Exemplo de soluções LI

y'' − 3y' + 2y = 0

y1 = e^t é solução
y2 = e^{2t} é solução

y2'=2e^{2t}
y2''= 4 e^{2t}

y2'' − 3y2' + 2y2 
= 4 e^{2t} - 3·2 e^{2t} + 2 e^{2t} = 0 !!

Queremos verificar se são soluções LI

escolheremos t = 0

y1(0) = 1, y1'(0) = 1

y2(0) = 1, y2'(0) = 2

det [ 1  1 ] = 2-1=1 <> 0 SÃO SOLUÇÕES LI
    [ 1  2 ]

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Suponha que queremos soluções LI de

y'' − 3y' + 2y = 0

Montando a equação característica
λ² - 3 λ + 2 = 0

S=3, P=2  => λ1 = 1, λ2 = 2
e^{1t}
e^{2t}

são duas soluções LI

Solução geral é

y = c1 e^t + c2 e^2t


== fixando condições iniciais, determinamos c1 e c2

y  = c1 e^t +  c2 e^2t
y' = c1 e^t + 2c2 e^2t


y(0) = 0
y'(0)= 2

y(0)  = c1  + c2     = 0 
y'(0) = c1 + 2c2     = 2

[ 1 1 | 0]
[ 1 2 | 2]
~
[ 1 1 | 0]
[ 0 1 | 2]
~
[ 1 0 | -2]
[ 0 1 |  2]

A solução do PVI é
y = -2 e^t + 2 e^2t

λ = (-b ) / (2a)

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EXEMPLO DE SISTEMA MASSA-MOLA

mx''+ bx' + kx = 0

Δ = b² - 4mk

m=1 kg
k=3 N/m
b=5 alta resistência do meio

x(0) = 1
x'(0) = 0  (solta a massa de repouso na posição 1)

x'' + 3x' + x = 0

Δ = 25-9 = 16

λ1 = (-5+4)/2 = -1/2
λ2 = (-5-4)/2 = -9/2 

solução geral
x(t) = c1 e^{-t/2} + c2 e^{-9t/2}

escontrando c1 e c2 do nosso PVI

x(t) = c1 e^{-t/2} + c2 e^{-9t/2}
x'(t) = -c1/2 e^{-t/2} - 9c2/2 e^{-9t/2}

para t=0, ficamos com o sistema

x(0) = c1  + c2 = 1
x'(0) = -c1/2 - 9c2/2 = 0

[ 1     1    | 1 ]
[ -1/2  -9/2 | 0 ]
~
[ 1    1  | 1 ]
[ -1  -9  | 0 ]
~
[ 1   1  | 1 ]
[ 0  -8  | 1 ]
~
[ 1  1  | 1    ]
[ 0  1  | -1/8 ]
~
[ 1  0  |  9/8 ]
[ 0  1  | -1/8 ]

A solução do PVI é
x(t) = 9/8 e^{-t/2} - 1/8 e^{-9t/2}

verifique que é solução de 

x'' + 5x' + 3x = 0
x(0)=1, x'(0) = 0