q quantidade de sal -> depende do tempo

q(t)

t = tempo -> variável independente
q = quantidade de sal -> variável dependente

=== nos textos é usual

t -> variável independente

y ou x -> variável dependente
y(t) ou x(t)

======== outros livros

y(x)

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EDOs lineares de 1ª ordem AUTÔNOMAS
-> não aparece t na expressão da EDO 

Linear de 1ª ordem

a(t) y' + b(t) y = c(t)

Linear de 1ª ordem autônoma = coeficientes constantes

a y' + b y = c


y' + 2y = t
y' + 2y = 1

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y² = - t² + C   -> y é dado IMPLICITAMENTE


(equação da circunferência de centro (0,0) e raio sqrt(C)

y = sqrt( C - t² ) -> y é dado EXPLICITAMENTE (opcional)

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y' = 6 t⁵ e^{-y}

y = ln(t⁶ + 1)

e^{-y} = 1/(t⁶ + 1)

y' = 6 t⁵/(t⁶ + 1) = 6t⁵ e^{-y}

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20 g/l em 5000 l = 20·5000 = 100.000 g de sal = 100 kg de sal 

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exp( 2 ln t ) = exp( ln t²) = t²


nesse 6º exemplo, t<>0 !!!!

I = (-inf, 0)  ou  (0,inf)

  y(1) = 5

1 pertence a I = (0,inf)

y = t³/5 + C/t²

Usand a condição inicial, t=1 => y=5

5 = 1/5 + C  => C = 5 - 1/5 =25/5 - 1/5 = 24/5

Solução do PVI   ty' + 2y = t³,  y(1) = 5
é  
   y = t³/5 + 24/(5t²)

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ty' + 2y = t³   é linear de 1ª ordem

Gostaríamos de escreê-la como separável.


y' = (t³ - 2y)/t

y'/(t³ - 2y) = 1/t

...

(expressão de y)y' = (expressão de t)

a(t) y' + b y = c

a(t) y' = c - by

y'/(c-by) = 1/a(t)


AUTONÔMAS: na EDO não aparece t explicitamente

a y' + b y = c => y'/(c-by) = 1/a