Linhas gerais para resolver esse tipo de exercício: 1) escreve u (um elemento do domínio) como combinação linear da base dada. 2) Usando essa c.l., dar a expressão da transformação linear EXEMPLO: Encontrar a expressão F(x,y,z) do operador linear F : R³ → R³ tal que F (1, 1, 1) = (1, 1, 0), F (0, 1, 1) = (1, 0, 1) e F (0, 0, 1) = (0, 1, 1). ======================== Observe que B = {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} é LI (pois o 1º é <> 0 e nenhum é c.l. dos anteriores) e or ter 3 vetores, é base de R³ (pois dim R³ = 3). 1) Escrever (x,y,z) como c.l. de B (x,y,z) = a(1,1,1) + b(0,1,1) + c(0,0,1) =(a,a,a) + (0,b,b) + (0,0,c) = (a, a+b, a+b+c) (x,y,z) é dado (não são variáveis), a,b,c são as variáveis Montamos um sistema nas variáveis a,b,c, que tem a seguinte matriz aumentada: 1 0 0 | x (a=x) 1 1 0 | y (a+b=y) 1 1 1 | z (a+b+c=z) ~ 1 0 0 | x => a = x 0 1 0 | y-x => b = y-x 0 0 1 | z-y => c = z-y (x,y,z) = x(1,1,1) + (y-x)(0,1,1) + (z-y)(0,0,1) 2) Usando essa c.l., dar a expressão da transformação linear F (1, 1, 1) = (1, 1, 0), F (0, 1, 1) = (1, 0, 1) e F (0, 0, 1) = (0, 1, 1). (x,y,z) = x(1,1,1) + (y-x)(0,1,1) + (z-y)(0,0,1) F(x,y,z) = F[ x(1,1,1) + (y-x)(0,1,1) + (z-y)(0,0,1) ] F(x,y,z) = x F(1,1,1) + (y-x) F(0,1,1) + (z-y) F(0,0,1) F(x,y,z) = x (1,1,0) + (y-x) (1,0,1) + (z-y) (0,1,1) F(x,y,z) = (x,x,0) + (y-x,0,y-x) + (0,z-y,z-y) A expressão de F é F(x,y,z) = (y,x-y+z,-x+z) Testando... F(1,1,1) = (1,1,0) F(0,1,1) = (1,0,1) F(0,0,1) = (0,1,1) =========================================== Outro exemplo (slide 9 da aula, 1ª parte) Encontrar a expressão da transformação linear F : P_2(R) → R⁴ tal que F [t] = (−2, 1, 18, 9), F [1 − t] = (3, 2, −2, −3) F [1 + t²] = (0, −2, −4, −6) Começamos observando que B = {t, 1-t, 1+t²} é LI e como dim P_2(R) é 3, temos que B é base de P_2. 1) Escrever p(t) = a + b t + c t² como c.l. de B (a,b,c dados, q,r,s variáveis) a + b t + c t² = q t + r (1-t) + s (1+t²) = (r+s) + (q-r) t + s t² Temos o sistema r+s=a, q-r=b, s=c (para variar, vamos usar outro método, faremos por substituição) s=c r+s=a => r = a-s = a-c q-r=b => q=b+r=b+a-c a + b t + c t² = (a+b-c) t + (a-c) (1-t) + c (1+t²) 2) Usar a c.l. para escrever a expressão de F. F [t] = (−2, 1, 18, 9), F [1 − t] = (3, 2, −2, −3) F [1 + t²] = (0, −2, −4, −6) F[a + b t + c t²] = F [(a+b-c) t + (a-c) (1-t) + c (1+t²)] = (a+b-c) F[t] + (a-c) F[1-t] + c F[1+t²] = (a+b-c) (−2,1,18,9) + (a-c) (3,2,−2,−3) + c (0,−2,−4,−6) = (−2a-2b+2c,a+b-c,18a+18b-18c,9a+9b-9c) + (3a-3c,2a-2c,−2a+2c,−3a+3c) + (0,−2c,−4c,−6c) = (a-2b-c, 3a+b-5c, 16a+18b-20c, 6a+9b-12c) F[a + b t + c t²] = (a-2b-c, 3a+b-5c, 16a+18b-20c, 6a+9b-12c) Verificando um dos dados... F[1-t] = (3, 2, -2, -3) =================================== slide 5: T : U -> V W subespaço de U T(W) = { Tw : w pertence a W } contido em V é um subespaço de V!! --- verificar que TW é subespaço * 0 ∈ TW -> OK * u,v ∈ TW => u+v ∈ TW * a real, u ∈ TW => au ∈ TW ==================== dado A contido em V T^{-1}(A) = { x ∈ U : Tx ∈ A } (imagem inversa de A por T) ===================== 0 ∈ Z T(0*) = 0 ∈ Z => 0* ∈ T^{-1}Z ok ================================== T : R³ → R³ , T(x,y,z) = (x,y,0) {0} é supespaço do domínio T{(0,0,0)} = {(0,0,0)} é subespaço do contradomínio T(R³) é plano xy (equação: z=0) é um subespaço de R³ A = [(1,2,-1)] = {a(1,2,-1): a ∈ R} T(a(1,2,-1)) = a T(1,2,-1) = a(1,2,0) TA = [(1,2,0)] é subespaço --------- T^{-1} {(0,0,0)} = {(0,0,z) : z ∈ R} = [(0,0,1)] veremos que acabamos de calcular o núcleo de T T(x,y,z) = (x,y,0) = (0,0,0) => x=0, y=0, z livre Imagem inversa de A = [(1,2,-1)] T(x,y,z)= (x,y,0) = a(1,2,-1) = (a,2a,-a) => a=0 => x=0,y=0 z livre T^{-1}A = [(0,0,1)] é subespaço do domínio ====================== slide 8 exemplo2: Núcleo T(x,y) = x-3y = 0 => x=3y (x,y) = (3y,y) = y(3,1) portanto Núcleo de T = ker T = [(3,1)] (dim ker T = 1) ================================= slide 9 Encontrar o núcleo de F[a + b t + c t²] = (a-2b-c, 3a+b-5c, 16a+18b-20c, 6a+9b-12c) Encontrar o núcleo de F é achar os polinômios a + b t + c t² tais que F[a + b t + c t²] = (0,0,0,0) 1 -2 -1 | 0 3 1 -5 | 0 16 18 -20 | 0 6 9 -12 | 0 ~ 1 -2 -1 | 0 0 7 -2 | 0 0 25 -2 | 0 0 0 0 | 0 ~ 1 0 0 | 0 0 1 0 | 0 0 0 1 | 0 0 0 0 | 0 (no slide deve ter erro, pois deu diferente) pelas nossas contas, a=b=c=0 ker F = { 0 + 0t + 0t²} = {0} ============================ n = (1,0,-1) v · n = 0 v = (x,y,z) 0 = (x,y,z) · (1,0,-1) = x - z equação geral do plano: ax + by + cz = d p=(x0,y0,z0) no plano => a x0 + b y0 + c z0 = d ax + by + cz = a x0 + b y0 + c z0 a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 (a,b,c) · (x-x0,y-y0,z-z0) = 0 (a,b,c) · [(x,y,z) - (x0,y0,z0)] = 0 x-z = 0 é a equação de um plano z = x y livre (x,y,z) = (x,y,x) = x(1,0,1) + y (0,1,0) pi = [(1,0,1), (0,1,0)] (1,0,1)·(1,0,-1) = 0