T injetora <=> ker T = {0} (ou dim ker T = 0) ========================== dim R³ (domínio) = 3 dim ker T = 1 necessariamente, dim Im T = 2 ======================== 2º exemplo: T: R² -> R dim R² (domínio) = 2 (sem analisar as fórmulas) as possíveis imagens são 1) R (dim Im T = 1 => dim ker T = 1) 2) {0} (dim Im T = 0 => dim ker T = 2) agora analisando as fórmulas: tome (x,y) no núcleo de T T(x,y)=x-3y=0 => x = 3y Concluímos que (x,y) = (3y,y) = y(3,1) ker T = [ (3,1) ] dim ker T = 1 => dim Im T = 1 => Im T = R ============================= 3º exemplo: D:P_3(R) -> P_3(R) D( a + bt + ct² + dt³) = b + 2ct + 3dt² Calculando o ker D Se p(t) = a + bt + ct² + dt³ está no núcleo: D( a + bt + ct² + dt³) = b + 2ct + 3dt² = 0 => b=0, c=0, d=0, e a ficou livre portanto Se p(t) = a = a·1 ker D = [1] dim ker D = 1 Como a dimensão do domínio é 4 e dim ker D = 1, conclui-se pelo Teorema do Núcleo e da Imagem que dim Im D = 3. =============================== u em U (ai,bi escalares) u = a1 u1 + ... + ap up + b1v1 + ... + br vr Tu = T(a1 u1 + ... + ap up + b1v1 + ... + br vr) = a1 Tu1 + ... + ap Tup + b1Tv1 + ... + br Tvr ================================= Autovalores e autovetores são para MATRIZES QUADRADAS --> Uma matriz quadrada de ordem n define uma transformação linear de R^n em R^n T: R^n -> R^n ===================================== RESUMO da teoria para cálculo de autovalores e autovetores 1) escreva A-λI 2) resolva a Equação característica: det(A-λI) = 0 --> as raízes são os autovalores 3) calcula os autovetores para cada autovalor: Encontrar v != 0 tais que (A-λI) v = 0 Exemplo: A = ( 0 2 ) ( 1 -1 ) λI = ( λ 0 ) ( 0 λ ) 1) A - λI = ( -λ 2 ) ( 1 -1-λ ) 2) Equação característica: det(A-λI) = 0 -λ(-1-λ) - 2 = 0 λ² + λ - 2 = 0 é uma equação polinomial de grau 2 raízes: S =-1, P =-2 -> -2 e 1 Dois autovalores: λ1 = -2, λ2=1 3) Encontrar os autovetores para cada autovalor: (A-λI) v = 0 *) para λ=-2 A-(-2)I = ( 2 2 ) ( 1 1 ) v = (x) (y) 1 1 | 0 1 1 | 0 ~ 1 1 | 0 => x = -y 0 0 | 0 v = (x) = (-y) = y (-1) (y) ( y) ( 1) Um autovetor associado a -2 é (-1 1)^t *) para λ=1 A - 1I = ( -1 2 ) ( 1 -2 ) v = (x) (y) (é fácil de ver que a segunda linha é múltipla da 1ª) ( -1 2 ) (x) = (0) ( 1 -2 ) (y) (0) A - I v 0 1ª equação -x + 2y = 0 => x=2y 2ª equação x - 2y = 0 -> REDUNDANTE pois a 2ª linha é múltipla da 1ª v = (x) = (2y) = y (2) (y) ( y) (1) Um autovetor associado a 1 é (2 1)^t ========================= Autovetor: direção na qual a multiplicação pela matriz dá um produto por escalar No nosso exemplo: A v1 = -2 v1 A v2 = 1 v2 v = v1 + v2 A v = A(v1 + v2) = A v1 + A v2 = -2 v1 + v2 A (a v1 + b v2) = a A v1 + b A v2 ==== "verificação" v = (1 2) A v = (0 2)(1) = ( 4) (1 -1)(2) (-1) ========================= Verificando os autovetores encontrados (0 1) ( 1) = (-1) = -1 · ( 1) (1 0) (-1) ( 1) (-1) (0 1) (1) = (1) = 1 · (1) (1 0) (1) (1) (1) ============================== (2 0 0) A = (0 2 0) = 2 I (0 0 2) (2 1 0) B = (0 2 0) (0 0 2) (2 1 0) C = (0 2 1) (0 0 2) λ (2-λ 0 0 ) A-λI = (0 2-λ 0 ) = (2-λ) I (0 0 2-λ) (2-λ 1 0) B-λI = (0 2-λ 0) (0 0 2-λ) (2-λ 1 0) C-λI = (0 2-λ 1) (0 0 2-λ) se uma matriz é triangular, seu determinante é o produto da diagonal det(A-λI) = (2-λ)³ det(B-λI) = (2-λ)³ det(C-λI) = (2-λ)³ em todas elas, λ=2 é raiz de multiplicidade 3 (0 0 0) A-2I = (0 0 0) = 0 I (0 0 0) (0 1 0) B-2I = (0 0 0) (0 0 0) (0 1 0) C-2I = (0 0 1) (0 0 0) Calculando os autovetores (de λ=2) (A-2I) v = 0v = 0 (x) (1) (0) (0) v = (y) = x(0) + y(1) + z(0) (z) (0) (0) (1) TRÊS AUTOVETORES !!! Para a matriz B (0 1 0) (x) (0) -> y=0 (0 0 0) (y) = (0) -> 0=0 (0 0 0) (z) (0) -> 0=0 (x) (1) (0) v = (0) = x(0) + z(0) (z) (0) (1) DOIS AUTOVETORES!! Para a matriz c (0 1 0) (x) (0) -> y=0 (0 0 1) (y) = (0) -> z=0 (0 0 0) (z) (0) -> 0=0 (x) (1) v = (0) = x(0) (0) (0) APENAS UM AUTOVETOR O número de autovetores é a dimensão da raíz? <= 1 <= dim(autovetores) <= n