Exemplo de F(A)

F: R -> R

F(x) = x²

A = [1,2]

F(A) = [1,4]

B = [1,4]
F^{-1}([1,4]) = [-2,-1] U [1,2]

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F não é injetora

F(-1) = F(1) mas -1<>1.
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com contradomínio sendo R,
F não é sobrejetora

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Matriz rotação de ângulo θ

A =  ( cos θ   -sen θ )
     ( sen θ    cos θ )


( cos θ   -sen θ ) (x)
( sen θ    cos θ ) (y)


exp: R -> (0,inf)

tem a inversa
ln: (0,inf)->R

exp(ln(x)) = x  (so para x>0)
= I[x] (com domínio (0,inf)

ln(exp(x)) = x = I_R(x)


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g(x) = exp(ln(x)) = x

domínio de g = (0,inf)

g = I_(0,inf)

h(x) = ln(exp(x)) = x

domínio de h = R
h = I_R


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Exemplos:
A identidade é linear

α real,   x,y vetores

*I(x+y) = x+y = I(x) + I(y)
*I(αx) = αx = αI(x)

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Reflexão no eixo x é linear

F(x,y) = (x,−y)

F( (x,y)+(a,b) )
= F(x+a,y+b)
= (x+a,-y-b)
= (x,-y) + (a,-b)
= F(x,y) + F(a,b)

F( α(x,y) )
= F(αx,αy)
= (αx,-αy)
= α(x,-y)
= α F(x,y)

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A rotação é linear, pois é operada pela multiplicação da matriz rotação.

[R(x,y)] = A (x)
             (y)
(feito com detalhe a seguir)

A translação NÃO É LINEAR  (se a<>0)

T(2a) = 2a + a = 3a <> 2a
T(-a) = -a + a = 0 <> -T(a) = -(a+a) = -2a

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f(x) = x²  não é linear

f(1+1) = f(2) = 4
f(1)+f(1) =1 + 1=2

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T (x, y , z) = (2x + y , x + 5y − z)

(v,w) = T(x,y,z)

2x + y     = v
x + 5y − z = w

é possível -> T é sobrejetora
não é determinado -> não é injetora

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 Au  -> produto de matrizes não precisa de parênteses
 Tu = T(u)

No slide: escreveremos Tu = Au

Correto:

[ Tu ]_C² = A [u]_C³

Tu pertence a R²

C² é a base canônica de R²
C³ é a base canônica de R³

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Matriz da Reflexão no eixo x

F(x,y) = (x,−y)

F(1,0) = (1,0)
F(0,1) = (0,-1)

a matriz tem como **colunas** F(e1) e F(e2)

A  = [ 1  0 ] 
     [ 0 -1 ]

Tirando a prova
 [ 1  0 ] [x] = [  x ]
 [ 0 -1 ] [y]   [ -y ]

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T(0) = T(2·0) = 2T(0)

portanto 2T(0)-T(0) = 0
T(0)= 0

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G(F(u+v)) = G( Fu + Fv ) = GFu + GFv

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W subespaço de U
Mostrar que TW é subespaço de V

* 0 ∈ W => T(0)=0 ∈ TW
* sejam u,v ∈ TW
 u ∈ TW => existe x ∈ W tal que Tx = u
 v ∈ TW => existe y ∈ W tal que Ty = v

Como W é subespaço, x+y ∈ W => T(x+y) ∈ TW
T(x+y) = Tx + Ty = u + v ∈ W

* alpha em R, u em TW. Temos que mostrar que
alpha u ∈ TW
 u ∈ TW => existe x ∈ W tal que Tx = u

Como W é subespaço, alpha x ∈ W = T(alpha x) ∈ TW
T(alpha x) = alpha Tx = alpha u ∈ TW

Mostramos que TW é subespaço