Como conjunto
{v1,v2,v3} = {v2,v1,v3}

Se {v1,v2,v3} é base,

então {v2,v1,v3} é OUTRA base

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w = x v1 + y v2 + z v3 + t v4

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Exemplo em P_3(R)

Seja p(x) tal que

p(−1) = 7, p(1) = 3,
p(2) = 4, p(3) = −1

C a base canônica de P_3(R)

[p]_C = (2, -1, 3, -1)^T

 L a base
{L_{-1}(x), L_1(x), L_2(x), L_3(x)  }

[p]_L = (7,3,4,-1)^T

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EXEMPLO de completamento de base

v1 = (1, 0, 1, 1)
v2 = (0, 1, 1, 0)

B = {v1, v2}

Vamos completar uma base de R^4 a partir de B

Passo 1: encontrar u1 fora de [v1,v2] = U (dos slides)

1 0 | a
0 1 | b
1 1 | c
1 0 | d
~
1 0 | a
0 1 | b
0 0 | c-a-b
0 0 | d-a

Para u1 estar fora de [v1,v2], o sistema tem que ser impossível.

basta tomar (a,b,c,d) de forma que o sistema seja IMPOSSÍVEL
(1,0,0,0) serve

Outro u1: c-a-b=0, d-a <>0
u1 = (1,0,1,0) 
OUTRO u1 que serve.

Vamos ficar com o primeiro

Passo 2: encontrar u2 fora do [v1,v2,u1]

1 0 1 | a
0 1 0 | b
1 1 0 | c
1 0 0 | d
~
1 0 1 | a
0 1 0 | b
0 1 -1| c-a
0 0 -1| d-a
~
1 0 1 | a
0 1 0 | b
0 0 -1| c-a-b
0 0 0 | d-c+b 

U2 não está no gerado de v1,v2,u1 se o sistema é impossível.
d-c+b <>0
u2=(0,1,0,0)

Logo
B' = { (1,0,1,1),(0,1,1,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0) }
é uma base completada a partir de B

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Uma OUTRA maneira mais inteligente:

1 0 | a
0 1 | b
1 1 | c
1 0 | d
~
1 0 | a
0 1 | b
0 0 | c-a-b
0 0 | d-a

há 2 equações para o sistema ser impossível.
u1 que satisfaz só a 1ª equação
u2 que satisfaz só a 2ª equação

u1 = (1,0,1,0)
u2 = (1,0,0,1)

Outra resposta
B' = {(1,0,1,1),(0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}

A=
1 0 1 1
0 1 0 0
1 1 1 0
1 0 0 1

detA = 1 · (-1)^2 · det M

M=
1 1 1
1 1 0
1 0 1

det M = 1 + 0 + 0 - 1 - 0 - 1 = -1 <>0

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Exemplo
Escrever w = (2,1,0,1) 
a) na base canônica
b) na base B = { (1,0,1,1),(0,1,1,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0) }


Resposta
a) [w]_C = (2,1,0,1)^T

b)

1 0 1 0 | 2
0 1 0 1 | 1
1 1 0 0 | 0
1 0 0 0 | 1
~
1 0  1  0 | 2
0 1  0  1 | 1
0 0  1  1 | 3
0 0  0  1 | 2
~
1 0  0  0 | 1
0 1  0  0 | -1
0 0  1  0 | 1
0 0  0  1 | 2

(1,0,1,1)-(0,1,1,0)+(1,0,0,0)+2(0,1,0,0)
= (2,1,0,1)

[w]_B = (1,-1,1,2)^T