e1 = (1,0,0)
e2 = (0,1,0)
e3 = (0,0,1)

(x,y,z) =
(x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,z)
x e1 + y e2 + z e3

Portanto,
R³ contido [e1,e2,e3]

[e1,e2,e3] contido em R³

portanto
R³ = [e1,e2,e3]

================================

M_{2,3}(R) = { matrizes 2x3 }

E_{1,1} = (1 0 0)
          (0 0 0)

E_{1,2} = (0 1 0)
          (0 0 0)

E_{1,3} = (0 0 1)
          (0 0 0)

E_{2,1} = (0 0 0)
          (1 0 0)

E_{2,2} = (0 0 0)
          (0 1 0)

E_{2,3} = (0 0 0)
          (0 0 1)
========================
P_3(R) = {polinômios de grau até 3}

p(x) = a + b x + c x² + d x³
já está escrito como combinação linear
dos polinômios 1, x, x², x³

P_3(R) = [1,x,x²,x³]

===========================

Se P(R) [polinômios de qualquer grau]
fosse finitamente gerado, 

P(R) = [p1,...,pk]

N = max(graus de p_i) é o grau máximo possível para uma combinação linear 

então x^{N+1} não está no gerado.
absurdo

Logo P(R) não é finitamente gerado.

=========================

(2,0,-1) pertence ao gerado [..]

se existirem x, y soluções do sistema

ou seja

O SISTEMA TEM QUE SER POSSÍVEL

==============================
Verificar a dependência linear do conjunto B,
e caso seja LD, encontre algum que seja combinação linear dos anteriores

B = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0), (1, −1, −1, −1)}

1  1  1  1 | 0
0  1 -1 -1 | 0
0  0  0 -1 | 0
0  0  0 -1 | 0
~
1  1  1  1 | 0
0  1 -1 -1 | 0
0  0  0 -1 | 0
0  0  0  0 | 0
~
1  0  2  2 | 0
0  1 -1 -1 | 0
0  0  0  1 | 0
0  0  0  0 | 0
~
1  0  2  0 | 0  => x=-2z
0  1 -1  0 | 0  => y=z
0  0  0  1 | 0  => w=0
0  0  0  0 | 0
o sistema é INDETERMINADO,
portanto B é LD

Vamos camá-los, na ordem acima, de v1,v2,v3,v4.

Tomando z = 1

-2 v1 + v2 + v3 = 0

Isolando o último
v3 = 2v1 - v2.