0 v = 0
0 real . v vetor = 0 vetor

x=(2,-3)
-x=(-2,3)

============== CORPO ======

Conjunto com soma e produto
onde está definido o elemento inverso para todo número x<>0

R - reais é corpo
2 * (1/2) = 1

sqrt(2) * ( 1/sqrt(2) )  = 1

Q é corpo

Z o conjunto dos inteiros NÃO É CORPO
em Z, 2 não inverso
não existe n inteiro tal que
   2n = 1

A um conjunto qualquer
A = {ç, á, &}


F= { f:A-> R } é espaço vetorial com as operações de soma e produto por escalar usuais.

(porque nós nunca operamos o que está no domínio)

f: f(ç)= 1, f(á)=-2, f(&)=1/2

g: g(ç)=2, g(á)= 3, g(&)= 0.1

f+g = h

h(ç)=3, h(á)=1, h(&)=0.6

alpha = 1.5

1.5 f = j

j(ç)=1.5, j(á)=-3, j(&)=-0.75

0(ç)=0...

===================

A = {polinômios de grau 2}

f(x) = x² + 1
g(x) = 1 - x²

f+g = 2 não pertence a A

Mas 

P2 = {polinômios de grau ATÉ 2}
é espaço vetorial!!

f(x) = ax² + bx + c
g(x) = mx² + nx + l

(f+g)(x) = (a+m)x² + (b+n)x + (c+l)

=========================
SUBESPAÇOS

OPERAÇÕES A VERIFICAR:

1) 0 \in U
2) U fechado para a soma
3) U fechado para o produto por escalar.

======================

U reta que não passa pela origem. NÃO É
=> 0 nao pertence a U!!!

x,y,z,w >= 0

(x,y)+(z,w)=(x+z,y+w)

======================

U = união do 1º e 3º quadrantes
{(x,y): x·y >= 0}

(2,0) no 1º quadrante
(-1,-1) no 3º quadrante

somando
(1,-1) no 2º quadrante, FORA de U.

Não é fechado para a soma.

==============

(x,y) + (0,0) = (x,y)



1 é função par
x² é par

então a função 1+x² é par


Temos que mostrar que P é fechado para a soma

(soma de funções pares é função par)

f+g = h

(temos que mostrar que 
h(x) = h(-x) para toodo x.)

h(x)
= f(x)  + g(x)
= f(-x) + g(-x)
= (f+g)(-x)
= h(-x)

ou seja, h é função par

P é fechado para o produto por escalar

a real, f função par

h = a f

h(x) = .... = h(-x)

h(x)
= a f(x)
= a f(-x)
= h(-x)

portanto af é função par
=========================
I (conjunto das funções ímpares) é subespaço de C(R,R)

funão zero é ímpar?
o(x)=0

o(-x) = 0 = -0 = -o(x)

satistaz 0 in I
---------------------
2ª propriedade: I fechado para a soma, ou seja
soma de funções ímpares é ímpar.

f,g ímpares: (f(-x)=-f(x))

h = f+g

h(-x)
= f(-x) + g(-x)
= -f(x) - g(x) 
= -[ f(x)+g(x) ]
= -h(x)
então h é ímpar

----------
a real, f função ímpar
h = a f

h(-x) = af(-x)
= a(-f(x))
= - [af(x)]
= - h(x)

então h é ímpar

então I é subespaço de C(R,R)

o raio de luz:
x v,  x real

modelo: raio de luz é os elementos da RETA que passa pelo ponto p com direção v

p + x v, x real