Resolução da Prova 3

Use a segunda lei de Newton para determinar o vetor força atuando neste objeto. Descreva este vetor força neste sistema de coordenadas indicado no texto acima.

O movimento ocorre ao longo do eixo Y, perpendicular ao solo na origem \(y=0\). Seja $\hat{j}$ o versor deste eixo, sentido do solo para cima. Desta forma o vetor posição deste objeto é \begin{equation}\vec{r}=y(t)\,\hat{j},\quad y(t)=R-\frac{1}{2}gt^2,\end{equation} cuja taxas de variação são \begin{equation} \vec{v}=\frac{d}{dt}\vec{r}=\dot{\vec{r}}=v_y(t)\,\hat{j},\quad v_y(t)=-gt,\end{equation} o vetor velocidade, e \begin{equation} \vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}=\dot{\vec{v}}=a_y(t)\,\hat{j},\quad a_y(t)=-g,\end{equation} o vetor aceleração. Note a grafia dos vetores e suas componentes em coordenadas.

A segunda lei de Newton permite identificar a força agindo neste objeto, \begin{equation} \vec{F}=m\vec{a}=-mg\,\hat{j},\end{equation} como sendo a força peso.

Mostre que este vetor força é derivado da seguinte energia potencial: \(\) \begin{equation}V(y)=mg\,y + C_1,\end{equation} onde $C_1$ é uma constante arbitrária. Determine o valor desta constante $C_1$ para que a energia potencial seja nula no solo. Calcule explicitamente a taxa de variação temporal $\dot{V}$ desta energia potencial.

Como a energia potencial dada é uma função da posição, $V=V(y)$, devemos usar o operador gradiente para transformá-la num vetor, \begin{equation} \vec{F}=-\vec{\nabla}V(y).\end{equation} Note o sinal negativo. O operador gradiente dado envolve apenas a derivada espacial no eixo Y, \begin{equation} \vec{F}=-\vec{\nabla}V(y)=-\hat{j}\frac{d}{dy}V(y)=-mg\,\hat{j}.\end{equation} Sendo o mesmo vetor força encontrado usando a segunda lei, então podemos afirmar que ele é realmente derivado desta função energia potencial. Isto significa que é uma força conservativa. Como tem apenas esta força neste sistema, esperamos que a energia mecânica deste sistema seja uma quantidade conservada (uma constante). 

No solo $y=0$ a energia potencial deve ser nula (escolha): $V(0)=C_1=0$. Então a constante $C_1$ deve ser nula para esta escolha. Observe que a energia potencial é $mg\,y(0)=mgR$ no instante inicial $t=0$.

A taxa temporal da função energia potencial é a derivada no tempo dela, \begin{equation}\dot{V}=\frac{d}{dt}V=mg\,\dot{y}=mg\,v_y(t)=-mg^2t,\end{equation} onde fizemos uso da componente $\dot{y}=v_y(t)=-gt$ do vetor velocidade calculado em Q1. Note que esta taxa é negativa, ou seja, a energia potencial está diminuindo com o passar do tempo, e é nula no instante inicial $t=0$. 

Importante notar que energia potencial é uma função escalar, ou seja, não é vetor. Também é importante notar que vetores descritos em coordenadas exigem a presença dos versores deste sistema de coordenadas multiplicando suas componentes.

Note também o uso de dois tipos de derivada: uma no tempo $d/dt$, usada nas taxas temporais, e outra na posição $d/dy$, usada pelo operador gradiente. A notação usando um ponto sobre um nome, como $\dot{y}$, indica exclusivamente uma derivada no tempo.

Calcule explicitamente como funções do tempo a energia cinética \(T\) e sua taxa de variação temporal $\dot{T}$. Mostre que $\dot{T}+\dot{V}=0$.

A energia cinética $T$ depende da massa $m$ e do módulo $v$ do vetor velocidade (calculado em Q1), \begin{equation} v^2=\vec{v}\cdot\vec{v}=v_{y}^{2}\,\hat{j}\cdot\hat{j}=g^2t^2.\end{equation} Note a diferença em notação entre o módulo $v$ e a componente $v_y$ do vetor velocidade. Assim, a energia cinética pode ser escrita explicitamente como uma função do tempo: \begin{equation} T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mg^2\,t^2.\end{equation} Esta energia cinética varia no tempo com a taxa dada pela sua derivada temporal, \begin{equation} \dot{T}=\frac{d}{dt}T=mg^2\,t.\end{equation} Note que no instante inicial $t=0$, tanto a energia cinética quanto sua taxa são nulas. Isto significa que este objeto partiu do repouso no instante inicial, quando tinha apenas energia potencial. 

Usando a taxa temporal da energia potencial, calculada em Q2, temos \begin{equation}\dot{T}+\dot{V}=mg^2\,t-mg^2\,t=0.\end{equation} Este resultado é mais uma confirmação da conjectura inicial sobre a energia mecânica ser constante.

Calcule a energia mecânica explicitamente como função do tempo e compare com os resultados dos itens anteriores.

A energia mecânica \(E\) é a soma das energias cinética $T$ e potencial $V$, \begin{equation}E=T+V=\frac{1}{2}mv^2(t)+mg\,y(t)= \frac{1}{2}mg^2\,t^2 + mg\bigg(R-\frac{1}{2}g\,t^2\bigg)= mgR.\end{equation} Note que esta energia mecânica é uma constante, confirmando a conjectura inicial. Note também que a energia mecânica é igual à energia potencial inicial, $E=V(y(0))=mg\,y(0)=mgR$. Sendo a energia mecânica uma constante, então sua taxa de variação temporal é nula (por definição), $\dot{E}=0$, como foi notado em Q3.

Calcule o comprimento do trajeto percorrido desde o início (\(t=0\)) até a chegada ao solo ($t=t_q$). Use integral e explicite os detalhes.

O comprimento $\Delta S$ de uma trajetória é dado pela integral no tempo do módulo do vetor velocidade, \begin{equation} \Delta S =\int\limits_{0}^{t_q}v(t)\,dt,\quad v(t)=\|\vec{v}(t)\|=g\,t.\end{equation} Observe a importância de uma notação coerente: $v(t)$ é o módulo do vetor velocidade $\vec{v}(t)$ calculado em Q1. Módulo é sempre positivo. Uma notação displicente que não faça a correta distinção entre módulo ($v$, nome do vetor sem a flecha e sem subíndice) e componente ($v_y$, nome do vetor sem a flecha e com subíndice) pode levar a resultados catastróficos, como um comprimento negativo. 

Esta integral pode ser efetuada facilmente perguntando quem é a função cuja derivada é $t$, o integrando em  \begin{equation} \Delta S =\int\limits_{0}^{t_q}v(t)\,dt= g\int\limits_{0}^{t_q}t\,dt= \frac{1}{2}g\,t^2\bigg|_{0}^{t_q}=\frac{1}{2}g\,t_{q}^{2}-\frac{1}{2}g\,0^{2}=\frac{1}{2}g\,t_{q}^{2}.\end{equation} Esse tempo de queda $t_q$ é o momento que o objeto chega ao solo, \begin{equation} y(t_q)=R-\frac{1}{2}g\,t_{q}^{2}=0 \implies \frac{1}{2}g\,t_{q}^{2}=R.\end{equation} Assim, o comprimento fornecido pela integral acima, \begin{equation} \Delta S =\int\limits_{0}^{t_q}v(t)\,dt=\frac{1}{2}g\,t_{q}^{2}=R,\end{equation} é o valor esperado (e positivo).