Gabaritos de Cinemática

• Exercício 1.

\( \| \vec{ \rho } \| = \sqrt{x^2+y^2} \)

• Exercício 2.

\( \| \vec{r} \| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \)

\(x=4, y=3, z=5 \implies \| \vec{r} \| = 5\sqrt{2} \)

• Exercício 3.

\( \vec{R}_1+\vec{R}_2=(2,3,0) \implies \| \vec{R}_1+\vec{R}_2 \| = \sqrt{13} \)

\( \vec{R}_1-\vec{R}_2=(0,1,0) \implies \| \vec{R}_1-\vec{R}_2 \| = 1\)

• Exercício 6.

\( \vec{R_1}\cdot\vec{R_2}=5 \)

\(\|\vec{R_1}\|=\sqrt{6}\)

\(\|\vec{R_2}\|=\sqrt{6}\)

Ângulo entre \(\vec{R_1}\) e \(\vec{R_2}\): \(\theta=33,56°\)

\(\vec{R_3}=\vec{R_1}+\vec{R_2}=(2,3,3)\)

\(\vec{R_4}=\vec{R_1}-\vec{R_2}=(0,1,-1)\)

\(\vec{R_3}\cdot\vec{R_4}=0\)

\(\|\vec{R_3}\|=\sqrt{22}\)

\(\|\vec{R_4}\|=\sqrt{2}\)

Ângulo entre \(\vec{R_3}\) e \(\vec{R_4}\): \(\alpha=90°\)

• Exercício 7.

Ângulo entre \(ê_1\) e \(ê_2\): \(\theta=60°\)

Ângulo entre \(ê_1\) e \(ê_3\): \(\alpha=90°\)

Ângulo entre \(ê_2\) e \(ê_3\): \(\beta=90°\)

\( \vec{R_1}\cdot\vec{R_2}=6,5 \)

\(\|\vec{R_1}\|=2\sqrt{2}\)

\(\|\vec{R_1}\|=\sqrt{7}\)

Ângulo entre \(\vec{R_1}\) e \(\vec{R_2}\): \(\gamma=29,7°\) 

• Exercício 9.

\( \vec{R_3}=\vec{R_1}\times\vec{R_2}=(3,-1,-1) \)

\( \|\vec{R_1}\|=\|\vec{R_2}\|=\sqrt{6} \)

\( \|\vec{R_3}\|=\sqrt{11} \)

Ângulo entre \(\vec{R_1}\) e \(\vec{R_2}\): \(\theta=33,56°\)

Ângulo entre \(\vec{R_1}\) e \(\vec{R_3}\): \(\alpha=90°\)

Ângulo entre \(\vec{R_2}\) e \(\vec{R_3}\): \(\alpha=90°\)

Área do paralelogramo formado por \(\vec{R_1}\) e \(\vec{R_2}\): \(\|\vec{R_1}\times\vec{R_2}\|=\sqrt{11}\)

Área do paralelogramo formado por \(\vec{R_1}\) e \(\vec{R_3}\): \(\|\vec{R_1}\times\vec{R_3}\|=\sqrt{66}\)

Área do paralelogramo formado por \(\vec{R_2}\) e \(\vec{R_3}\): \(\|\vec{R_2}\times\vec{R_3}\|=\sqrt{66}\)

• Exercício 10.

Área do paralelogramo formado por \(\vec{A}\) e \(\vec{B} =\|\vec{A}\times\vec{B}\|=AB\sin\theta\)

• Exercício 13.

Volume \(v\) do paralelepípedo formado por \(\vec{A}\) , \(\vec{B}\) e \(\vec{C}\): \(v=\vec{C}\cdot (\vec{A}\times\vec{B})=3 \)

Produto vetorial: \(\vec{D}=\vec{A}\times\vec{B}=(3,-1,-1)\)

Área da base: \(a=\|\vec{D}\|=\sqrt{11} \)

Altura: \(h=\vec{C}\cdot\hat{D}=\vec{C}\cdot \frac{\vec{D}}{\|\vec{D}\|}=\frac{3}{\sqrt{11}}\)

Comprimento dos lados: \(\|\vec{A}\|=\|\vec{B}\|=\sqrt{6},\; \|\vec{C}\|=\sqrt{3}\)

• Exercício 14.

\(\)\( \vec{v}=(-\omega R \sin(\omega t), \omega R \cos(\omega t)) \)

\( \|\vec{v}\|= \omega R \)

• Exercício 15.

\( \vec{v}=(2,3-2t) \)

\( \|\vec{v}\|= \sqrt{4t^2-12t+13}\)

Alcance máximo: \( x=3  m\)

Tempo de alcance máximo: \(t=\displaystyle \frac{3}{2}s\)

Altura máxima: \(y=\displaystyle \frac{9}{4}m\)

Tempo de altura máxima: \(t=\displaystyle \frac{3}{2}s\)

• Exercício 16.

\( \vec{v}=(-\omega R \sin(\omega t), \omega R\cos(\omega t),\frac{1}{2}) \)

\( \|\vec{v}\|= \sqrt{\omega^2R^2+\displaystyle \frac{1}{4}}\)

• Exercício 17.

\(\)

\( \vec{a}=(-\omega ^2 R\cos(\omega t), -\omega^2R sin (\omega t))\)

\( \|\vec{a}\|= \omega ^2 R\)

\(\vec{v}\times\vec{a}=(0,0,\omega^3R^2)\)

• Exercício 18.

\( \vec{a}=(0,-2,0)\)

\( \|\vec{a}\|= 2 \)

\(\vec{v}\times\vec{a}=(0,0,-4)\)

• Exercício 19.

\( \vec{a}=(-R\omega\sin(\omega t), R\omega\cos(\omega t), 1/2))\)

\( \|\vec{a}\|= \omega^2R \)

\(\vec{v}\times\vec{a}=(\frac{1}{2} \omega^2 R \sin(\omega t), \frac{1}{2}\omega^2R\cos(\omega t), \omega^3 R^2)\)

• Exercício 20.

\(\)

\( |\kappa(t)|=\displaystyle\frac{1}{R}\)

• Exercício 21.

\(|\kappa(t)|=\displaystyle\frac{4}{(\sqrt{4t^2-12t+13})^3}\)

• Exercício 22.

\(|\kappa(t)|=\displaystyle \frac{R\omega^2}{\sqrt{\frac{1}{4}+R^2\omega^2}^2}\)

• Exercício 23.

\( \tau=0\)

• Exercício 24.

\(\tau=0\)

• Exercício 25.

\(\tau=\displaystyle\frac{2\omega}{R^2\omega^2}\)

• Exercício 26.

\( \Delta S=R\omega t\)

• Exercício 27.

\(\Delta S=\displaystyle\frac{3 \sqrt{13}}{4}-\ln(\frac{\sqrt{13}-3}{2})=3,899\)

• Exercício 28.

\(\Delta S=\sqrt{R^2\omega^2+\frac{1}{4} t}\)