Dinâmica

Dada e relação entre o momentum linear e força na segunda lei \( \) \begin{equation} \vec{F}=\dot{\vec{p}},\quad \vec{p}=m\vec{v},\end{equation} se a força (ou uma de suas componentes) é nula, então o momentum linear (ou a respectiva componentes) é constante. Uma quantidade constante no tempo é denominada de quantidade conservada. Então temos o teorema da conservação do momentum linear,

Teorema 1

Se a força resultante em um sistema físico é nula em um referencial inercial, então o momentum linear total deste sistema é conservado (não varia no tempo).

A utilidade de uma quantidade conservada reside no fato dela possuir os mesmos valores em tempos diferentes. Por exemplo, a quantidade de movimento total $\vec{p}_{ij}(t)$ é conservada no nosso experimento de colisões. Então, se denotarmos por $t_{1}$ um tempo antes da colisão e por $t_{2}$ um tempo depois da colisão, teremos $\vec{p}_{ij}(t_{1})=\vec{p}_{ij}(t_{2})$, a qual pode ser usada para determinar alguma quantidade desconhecida contida nela, o valor da constante $\mu_{ij}$ neste caso. De fato, do experimento temos \begin{equation} \vec{v}_{i} + \mu_{ij}\vec{v}_{j} = \vec{u}_{i} + \mu_{ij}\vec{u}_{j}, \end{equation} onde $\vec{v}_{i}$ são as velocidades de cada objeto ($i\in\{1,2,3\}$) antes da colisão e $\vec{u}_{i}$ são as velocidades após a colisão e os números $\mu_{ij}$ são determinados pelas componentes destes vetores velocidades. Para isolar os escalares $\mu_{ij}$, temos necessariamente de reescrever esta quantidade conservada em termos de suas componentes (subíndice $k\in\{1,2\}$), \begin{equation} \mu_{ij}=\frac{v_{i,k}-u_{i,k}}{u_{j,k}-v_{j,k}}. \end{equation} Note que estes valores são independentes das duas direções $k$ do plano contendo os vetores velocidades.

Naturalmente, o momentum linear tem um papel importante na Mecânica Newtoniana. Esta importância é devida à própria segunda lei e também ao Teorema 1 sobre a conservação do momentum linear. Portanto, podemos dizer que a sua definição como $\vec{p}=m\vec{v}$ está muito bem justificada pelo seu conteúdo físico.