SGS5858 - Modelagem Numérica e Modelagem Física Aplicadas à Geotecnia (2018)

Resolver a equação de Laplace, que governa o fluxo, não precisa ser uma dor de cabeça... Processos numéricos permitem encontrar a solução com facilidade, até mesmo utilizando tão-somente os recursos de uma planilha eletrônica (Excel ou similar). Nesta planilha apresenta-se um exemplo em que nem é preciso montar e resolver o sistema de equações lineares (por eliminação de Gauss ou por inversão da matriz dos coeficientes). Utiliza-se aqui um processo iterativo, ou de relaxação (tipo Gauss-Seidel).

Equação de Laplace

Demonstra-se que, na formulação de diferenças finitas, a equação de Laplace se reduz a: o valor da carga hidráulica em um ponto é a média dos valores das cargas hidráulicas dos quatro pontos vizinhos mais próximos.
Consequentemente, nesta planilha, as células (que representam pontos da malha de diferenças finitas) contêm basicamente uma única fórmula, a qual impõe exatamente que o valor da célula seja a média dos valores das quatro células vizinhas mais próximas.

Condições de contorno

Essa fórmula (média dos valores das quatro células vizinhas) sofre um ajuste nas fronteiras impermeáveis, para impor gradiente nulo na direção normal à fronteira em questão (condições de contorno naturais).

E, claro, nas células correspondentes às fronteiras de carga conhecida não se coloca nenhuma fórmula, mas o valor conhecido da carga hidráulica (condições de contorno essenciais).

A solução

Imaginemos um ponto da malha de diferenças finitas. A carga hidráulica desse ponto depende das cargas hidráulicas dos quatro pontos mais próximos e, em particular, da carga hidráulica do ponto à direita. Só que a carga hidráulica do ponto à direita depende, por sua vez, da carga hidráulica do ponto à esquerda. Isso gera inúmeras referências circulares e a solução é iterativa. Torna-se necessário, para encontrar a solução, habilitar "referências circulares" na planilha.

Apresentação dos resultados

Os gráficos das funções que nos interessam, h = h(x,z) por exemplo, são gráficos de tipos já disponíveis no próprio Excel. Com a devida mudança de condições de contorno, seria possível obter também a função harmônica conjugada, ψ = ψ(x,z), chamada função fluxo, que também satisfaz à equação de Laplace e cujas curvas de igual valor são as linhas de fluxo.

Apresenta-se o resultado completo para uma malha de 2,5 m x 2,5 m e, para comparação, as equipotenciais obtidas com uma malha mais refinada, de 1,25 m x 1,25 m.

Familiarize-se com o conteúdo das células. Apague-o em uma ou duas células centrais e tente entender o efeito nos gráficos. Depois copie a fórmula de volta para essas células, para reproduzir a solução original e sua representação gráfica.